« Approfondissement sur les suites numériques/Relations de comparaison » : différence entre les versions

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== Suites équivalentes ==
== Suites équivalentes ==


Intuitivement, deux suites vont être équivalentes quand <math>n</math> devient très grand si elles sont à peu près égales, et ainsi elles auront le même comportement en l'infini. C'est ce que traduit la définition suivante :
Intuitivement, deux suites vont être équivalentes si elles sont « à peu près égales quand <math>n</math> devient très grand », et ainsi elles auront le même « comportement » en l'infini. C'est ce que traduit la définition suivante :


{{Définition
{{Définition
|contenu =
|contenu =
Soient <math>(u_n)</math> et <math>(v_n)</math> deux suites. On dit que <math>(u_n)</math> et <math>(v_n)</math> sont équivalentes, ce que l'on note <math>u_n \underset{n \rightarrow \infty}{\sim} v_n</math>,lorsqu'il existe une suite <math>(w_n)</math> qui converge vers <math>1</math> et tel que <math>u_n=v_n.w_n</math> à partir d'un certain rang.
On dit que deux suites <math>(u_n)</math> et <math>(v_n)</math> sont équivalentes, ce que l'on note <math>u_n\underset{n\to\infty}\sim v_n</math>, ou plus simplement <math>u_n\sim v_n</math>, lorsqu'il existe une suite <math>(w_n)</math> qui converge vers <math>1</math> et telle que <math>u_n=v_nw_n</math> à partir d'un certain rang.
}}
}}




;Remarques
;Remarque :
D'après la définition, les seules suites équivalentes à la suite nulle sont les suites <math>u_n</math> nulle à partir d'un certain rang. Ainsi, nous avons la caractérisation suivante très utile pour déterminer des équivalents (attention on a souvent tendance à penser que ceci constitue la définition des suites équivalentes).
:*Pour des suites équivalentes, la notation <math>u_n\sim v_n</math> est non ambiguë (de même que la notation <math>u_n\to\ell</math> pour la limite d'une suite), contrairement à [[Fonctions d'une variable réelle/Relations de comparaison|pour des fonctions]].
:*D'après la définition, les seules suites équivalentes à la suite nulle sont les suites <math>(u_n)</math> nulles à partir d'un certain rang. Ainsi, nous avons la caractérisation suivante, très utile pour déterminer des équivalents (attention, on a souvent tendance à penser que ceci constitue la définition des suites équivalentes).


{{Proposition
{{Proposition
| contenu =
| contenu =
Si <math>(u_n)</math> et <math>(v_n)</math> ne s'annule pas pour <math>n</math> assez grand alors :
Si <math>(v_n)</math> ne s'annule pas pour <math>n</math> assez grand alors :
:<math>u_n\sim v_n\Longleftrightarrow\frac{u_n}{v_n}\to1</math>.

<math>u_n \underset{n \rightarrow \infty}{\sim} v_n \Longleftrightarrow \frac{u_n}{v_n} \underset {n\rightarrow \infty}{\longrightarrow} 1</math>

}}
}}


Regardons maintenant quelques exemples de suites équivalentes qui s'obtiennent directement en montrant que <math>\frac{u_n}{v_n} \underset {n\rightarrow \infty}{\longrightarrow} 1</math>.
Regardons maintenant quelques exemples de suites équivalentes qui s'obtiennent directement en montrant que <math>\frac{u_n}{v_n}\to1</math>.


{{Exemple
{{Exemple
| contenu =
| contenu =
* Soit <math>(u_n)</math> une suite telle que <math>u_n\underset {n\rightarrow \infty}{\longrightarrow} l</math> avec <math>l \neq 0</math> et <math> l\neq \pm \infty</math> alors <math>u_n\underset {n\rightarrow \infty}{\sim} l</math>.
* Soit <math>\ell</math> un réel ''non nul''. Une suite <math>(u_n)</math> converge vers <math>\ell</math> si et seulement si <math>u_n\sim\ell</math>.
* Soit <math>(u_n)</math> une suite définie par <math>u_n=P(n)</math> où <math>P</math> est un polynôme de degré <math>n</math>.
* Soit <math>(u_n)</math> une suite définie par <math>u_n=P(n)</math> où <math>P</math> est un polynôme de degré <math>n</math> et de coefficient dominant <math>\lambda</math>. Alors, <math>u_n\sim\lambda x^n</math>.
alors <math>u_n \underset{n\rightarrow \infty}{\sim}x^n</math>.
*Soit <math>(u_n)</math> la suite définie par <math>u_n=\sin\frac1{n^2}</math>. Alors, <math>u_n\sim\frac1{n^2}</math> .
*Soit <math>(u_n)</math> la suite définie par <math>u_n=sin(\frac{1}{n^2})</math> alors <math>u_n \underset{n\rightarrow \infty}{\sim}\frac{1}{n^2}</math> .
}}
}}


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{{Proposition
{{Proposition
|contenu = La relation <math>u_n \underset{n \rightarrow \infty}{\sim} v_n</math> est une relation d'équivalence.
|contenu = La relation <math>u_n\sim v_n</math> est une [[Relation (mathématiques)/Relation d'équivalence|relation d'équivalence]].
Pour rappel, on a alors, pour toutes suites <math>u_n</math>, <math>v_n</math> et <math>w_n</math> :
Pour rappel, on a alors, pour toutes suites <math>(u_n)</math>, <math>(v_n)</math> et <math>(w_n)</math> :
* <math>u_n \underset{n \rightarrow \infty}{\sim} u_n</math> (Réflexivité).
* <math>u_n\sim u_n</math> (réflexivité) ;
*Si <math>u_n \underset{n \rightarrow \infty}{\sim} v_n</math> alors <math>v_n \underset{n \rightarrow \infty}{\sim} u_n</math>(Symétrie).
*si <math>u_n\sim v_n</math> alors <math>v_n\sim u_n</math> (symétrie) ;
*Si <math>u_n \underset{n \rightarrow \infty}{\sim} v_n</math> et <math>v_n \underset{n \rightarrow \infty}{\sim} w_n</math> alors <math>u_n \underset{n \rightarrow \infty}{\sim} w_n</math> (Transitivité).
*si <math>u_n\sim v_n</math> et <math>v_n\sim w_n</math> alors <math>u_n\sim w_n</math> (transitivité).
}}
}}


{{Démonstration déroulante
{{Démonstration déroulante
|contenu=
|contenu=
La démonstration est assez directe mais rédigeons la afin de s'habituer aux raisonnements.
La démonstration est assez directe mais rédigeons-la afin de nous habituer aux raisonnements.
Soit <math>u_n</math>, <math>v_n</math> et <math>w_n</math> trois suites.
Soit <math>(u_n)</math>, <math>(v_n)</math> et <math>(w_n)</math> trois suites.
*Pour la réflexivité :
*Pour la réflexivité :
Posons <math>\forall n \in \N,\quad\alpha_n=1</math>. On a ainsi <math>\forall n \in \N, \quad u_n=\alpha_n.u_n</math>, ce qui par définition donne <math>u_n \underset{n \rightarrow \infty}{\sim} u_n</math>.
*:Posons <math>\forall n\in\N\quad\alpha_n=1</math>. On a ainsi <math>\forall n \in \N\quad u_n=\alpha_nu_n</math>, ce qui par définition donne <math>u_n\sim u_n</math>.
*Pour la symétrie :
*Pour la symétrie :
Supposons que <math>u_n \underset{n \rightarrow \infty}{\sim} v_n</math>.
*:Supposons que <math>u_n\sim v_n</math>.
Alors, il existe une suite <math>(\alpha_n)</math> telle que <math>\alpha_n \underset {n\rightarrow \infty}{\longrightarrow} 1</math> et <math>\exists N_0\in \N</math> tel que <math>\forall n>N_0,\quad u_n=\alpha_n.v_n</math>. Comme <math>\alpha_n</math> converge vers <math>1</math>, il existe <math>N\in \N</math> tel que pour tout <math>n>N,\quad \alpha_n>0</math>.
*:Alors, il existe une suite <math>(\alpha_n)</math> telle que <math>\alpha_n\to1</math> et <math>\exists N_0\in \N</math> tel que <math>\forall n>N_0\quad u_n=\alpha_nv_n</math>. Comme <math>\alpha_n</math> converge vers <math>1</math>, il existe <math>N\in\N</math> tel que pour tout <math>n>N,\quad \alpha_n>0</math>.
On a ainsi <math>\forall n>max(N_0,N),\quad v_n=\frac{1}{\alpha_n}.u_n</math> et <math>\frac{1}{\alpha_n} \underset{n \rightarrow \infty}{\longrightarrow}1</math>, et donc <math>u_n \underset{n \rightarrow \infty}{\sim} v_n</math>.
*:On a ainsi <math>\forall n>\max(N_0,N)\quad v_n=\frac1{\alpha_n}u_n</math> et <math>\frac1{\alpha_n}\to1</math>, et donc <math>v_n\sim u_n</math>.
*Pour la transitivité :
*Pour la transitivité :
Supposons que <math>u_n \underset{n \rightarrow \infty}{\sim} v_n</math> et <math>v_n \underset{n \rightarrow \infty}{\sim} w_n</math>.
*:Supposons que <math>u_n\sim v_n</math> et <math>v_n\sim w_n</math>.
Alors, il existe une suite <math>(\alpha_n)</math> telle que <math>\alpha_n \underset {n\rightarrow \infty}{\longrightarrow} 1</math> et <math>\exists N_0\in \N</math> tel que <math>\forall n>N_0,\quad u_n=\alpha_n.v_n</math>, et une suite <math>(\beta_n)</math> telle que <math>\beta_n \underset {n\rightarrow \infty}{\longrightarrow} 1</math> et <math>\exists N_1\in \N</math> tel que <math>\forall n>N_1,\quad v_n=\beta_n.w_n</math>.
*:Alors, il existe une suite <math>(\alpha_n)</math> telle que <math>\alpha_n\to1</math> et <math>\exists N_0\in\N</math> tel que <math>\forall n>N_0\quad u_n=\alpha_nv_n</math>, et une suite <math>(\beta_n)</math> telle que <math>\beta_n\to1</math> et <math>\exists N_1\in\N</math> tel que <math>\forall n>N_1\quad v_n=\beta_nw_n</math>.
Et finalement, <math>\forall n>max(N_0,N_1),\quad u_n=\alpha_n.\beta_n.w_n</math> et <math>\alpha_n.\beta_n \underset{n \rightarrow \infty}{\longrightarrow}1</math>, d'où <math>u_n \underset{n \rightarrow \infty}{\sim} w_n</math>.
*:Et finalement, <math>\forall n>\max(N_0,N_1)\quad u_n=\alpha_n\beta_nw_n</math> et <math>\alpha_n\beta_n\to1</math>, d'où <math>u_n\sim w_n</math>.
}}
}}


== Théorème de comparaison avec une suite géométrique ==
== Théorème de comparaison avec une suite géométrique ==
{{Théorème|contenu=
{{Théorème|contenu=
Soit <math>(u_n)</math> une suite strictement positive.
Soient <math>(u_n)</math> une suite strictement positive et <math>k</math> un réel.


* Si pour <math>n \ge n_0</math>, <math>\frac{u_{n+1}}{u_n}\le k<1</math>, alors <math>\lim u_n=0</math>.
* Si pour <math>n\ge n_0</math>, <math>\frac{u_{n+1}}{u_n}\le k</math> et si <math>k<1</math>, alors <math>\lim u_n=0</math>.
* Si pour <math>n\ge n_0</math>, <math>\frac{u_{n+1}}{u_n}\ge k>1</math>, alors <math>\lim u_n=+\infty</math>.}}
* Si pour <math>n\ge n_0</math>, <math>\frac{u_{n+1}}{u_n}\ge k</math> et si <math>k>1</math>, alors <math>\lim u_n=+\infty</math>.}}


{{Bas de page
{{Bas de page

Version du 1 décembre 2018 à 20:18

Début de la boite de navigation du chapitre
Relations de comparaison
Icône de la faculté
Chapitre no 4
Leçon : Approfondissement sur les suites numériques
Chap. préc. :Suites extraites
Chap. suiv. :Suites adjacentes
fin de la boite de navigation du chapitre
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Approfondissement sur les suites numériques : Relations de comparaison
Approfondissement sur les suites numériques/Relations de comparaison
 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Dans cette leçon, on va aborder les relations de comparaison entre les suites et l'objectif est de se concentrer sur le comportement des suites en l'infini.

Suites équivalentes

Intuitivement, deux suites vont être équivalentes si elles sont « à peu près égales quand devient très grand », et ainsi elles auront le même « comportement » en l'infini. C'est ce que traduit la définition suivante :


Remarques
  • Pour des suites équivalentes, la notation est non ambiguë (de même que la notation pour la limite d'une suite), contrairement à pour des fonctions.
  • D'après la définition, les seules suites équivalentes à la suite nulle sont les suites nulles à partir d'un certain rang. Ainsi, nous avons la caractérisation suivante, très utile pour déterminer des équivalents (attention, on a souvent tendance à penser que ceci constitue la définition des suites équivalentes).


Regardons maintenant quelques exemples de suites équivalentes qui s'obtiennent directement en montrant que .

Début de l'exemple
Fin de l'exemple


Montrons maintenant que le vocabulaire retenu ici est cohérent.

Théorème de comparaison avec une suite géométrique

Début d’un théorème
Fin du théorème