« Approfondissement sur les suites numériques/Relations de comparaison » : différence entre les versions
Début du cours sur les suites équivalentes |
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== Suites équivalentes == |
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Intuitivement, deux suites vont être équivalentes quand <math>n</math> devient très grand |
Intuitivement, deux suites vont être équivalentes si elles sont « à peu près égales quand <math>n</math> devient très grand », et ainsi elles auront le même « comportement » en l'infini. C'est ce que traduit la définition suivante : |
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{{Définition |
{{Définition |
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|contenu = |
|contenu = |
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On dit que deux suites <math>(u_n)</math> et <math>(v_n)</math> sont équivalentes, ce que l'on note <math>u_n\underset{n\to\infty}\sim v_n</math>, ou plus simplement <math>u_n\sim v_n</math>, lorsqu'il existe une suite <math>(w_n)</math> qui converge vers <math>1</math> et telle que <math>u_n=v_nw_n</math> à partir d'un certain rang. |
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;Remarques |
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;Remarque : |
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:*Pour des suites équivalentes, la notation <math>u_n\sim v_n</math> est non ambiguë (de même que la notation <math>u_n\to\ell</math> pour la limite d'une suite), contrairement à [[Fonctions d'une variable réelle/Relations de comparaison|pour des fonctions]]. |
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:*D'après la définition, les seules suites équivalentes à la suite nulle sont les suites <math>(u_n)</math> nulles à partir d'un certain rang. Ainsi, nous avons la caractérisation suivante, très utile pour déterminer des équivalents (attention, on a souvent tendance à penser que ceci constitue la définition des suites équivalentes). |
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{{Proposition |
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| contenu = |
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Si |
Si <math>(v_n)</math> ne s'annule pas pour <math>n</math> assez grand alors : |
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Regardons maintenant quelques exemples de suites équivalentes qui s'obtiennent directement en montrant que <math>\frac{u_n}{v_n} |
Regardons maintenant quelques exemples de suites équivalentes qui s'obtiennent directement en montrant que <math>\frac{u_n}{v_n}\to1</math>. |
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{{Exemple |
{{Exemple |
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| contenu = |
| contenu = |
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* Soit <math> |
* Soit <math>\ell</math> un réel ''non nul''. Une suite <math>(u_n)</math> converge vers <math>\ell</math> si et seulement si <math>u_n\sim\ell</math>. |
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* Soit <math>(u_n)</math> une suite définie par <math>u_n=P(n)</math> où <math>P</math> est un polynôme de degré <math>n</math>. |
* Soit <math>(u_n)</math> une suite définie par <math>u_n=P(n)</math> où <math>P</math> est un polynôme de degré <math>n</math> et de coefficient dominant <math>\lambda</math>. Alors, <math>u_n\sim\lambda x^n</math>. |
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*Soit <math>(u_n)</math> la suite définie par <math>u_n=\sin\frac1{n^2}</math>. Alors, <math>u_n\sim\frac1{n^2}</math> . |
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*Soit <math>(u_n)</math> la suite définie par <math>u_n=sin(\frac{1}{n^2})</math> alors <math>u_n \underset{n\rightarrow \infty}{\sim}\frac{1}{n^2}</math> . |
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{{Proposition |
{{Proposition |
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|contenu = La relation <math>u_n |
|contenu = La relation <math>u_n\sim v_n</math> est une [[Relation (mathématiques)/Relation d'équivalence|relation d'équivalence]]. |
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Pour rappel, on a alors, pour toutes suites <math>u_n</math>, <math>v_n</math> et <math>w_n</math> : |
Pour rappel, on a alors, pour toutes suites <math>(u_n)</math>, <math>(v_n)</math> et <math>(w_n)</math> : |
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* <math>u_n |
* <math>u_n\sim u_n</math> (réflexivité) ; |
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*si <math>u_n\sim v_n</math> alors <math>v_n\sim u_n</math> (symétrie) ; |
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*si <math>u_n\sim v_n</math> et <math>v_n\sim w_n</math> alors <math>u_n\sim w_n</math> (transitivité). |
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{{Démonstration déroulante |
{{Démonstration déroulante |
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|contenu= |
|contenu= |
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La démonstration est assez directe mais rédigeons |
La démonstration est assez directe mais rédigeons-la afin de nous habituer aux raisonnements. |
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Soit <math>u_n</math>, <math>v_n</math> et <math>w_n</math> trois suites. |
Soit <math>(u_n)</math>, <math>(v_n)</math> et <math>(w_n)</math> trois suites. |
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*Pour la réflexivité : |
*Pour la réflexivité : |
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Posons <math>\forall n |
*:Posons <math>\forall n\in\N\quad\alpha_n=1</math>. On a ainsi <math>\forall n \in \N\quad u_n=\alpha_nu_n</math>, ce qui par définition donne <math>u_n\sim u_n</math>. |
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*Pour la symétrie : |
*Pour la symétrie : |
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Supposons que |
*:Supposons que <math>u_n\sim v_n</math>. |
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Alors, il existe une suite <math>(\alpha_n)</math> telle que <math>\alpha_n |
*:Alors, il existe une suite <math>(\alpha_n)</math> telle que <math>\alpha_n\to1</math> et <math>\exists N_0\in \N</math> tel que <math>\forall n>N_0\quad u_n=\alpha_nv_n</math>. Comme <math>\alpha_n</math> converge vers <math>1</math>, il existe <math>N\in\N</math> tel que pour tout <math>n>N,\quad \alpha_n>0</math>. |
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On a ainsi <math>\forall n>max(N_0,N) |
*:On a ainsi <math>\forall n>\max(N_0,N)\quad v_n=\frac1{\alpha_n}u_n</math> et <math>\frac1{\alpha_n}\to1</math>, et donc <math>v_n\sim u_n</math>. |
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*Pour la transitivité : |
*Pour la transitivité : |
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Supposons que <math>u_n |
*:Supposons que <math>u_n\sim v_n</math> et <math>v_n\sim w_n</math>. |
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Alors, il existe une suite <math>(\alpha_n)</math> telle que <math>\alpha_n |
*:Alors, il existe une suite <math>(\alpha_n)</math> telle que <math>\alpha_n\to1</math> et <math>\exists N_0\in\N</math> tel que <math>\forall n>N_0\quad u_n=\alpha_nv_n</math>, et une suite <math>(\beta_n)</math> telle que <math>\beta_n\to1</math> et <math>\exists N_1\in\N</math> tel que <math>\forall n>N_1\quad v_n=\beta_nw_n</math>. |
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Et finalement, <math>\forall n>max(N_0,N_1) |
*:Et finalement, <math>\forall n>\max(N_0,N_1)\quad u_n=\alpha_n\beta_nw_n</math> et <math>\alpha_n\beta_n\to1</math>, d'où <math>u_n\sim w_n</math>. |
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== Théorème de comparaison avec une suite géométrique == |
== Théorème de comparaison avec une suite géométrique == |
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{{Théorème|contenu= |
{{Théorème|contenu= |
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Soient <math>(u_n)</math> une suite strictement positive et <math>k</math> un réel. |
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* Si pour <math>n |
* Si pour <math>n\ge n_0</math>, <math>\frac{u_{n+1}}{u_n}\le k</math> et si <math>k<1</math>, alors <math>\lim u_n=0</math>. |
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* Si pour <math>n\ge n_0</math>, <math>\frac{u_{n+1}}{u_n}\ge k>1</math>, alors <math>\lim u_n=+\infty</math>.}} |
* Si pour <math>n\ge n_0</math>, <math>\frac{u_{n+1}}{u_n}\ge k</math> et si <math>k>1</math>, alors <math>\lim u_n=+\infty</math>.}} |
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{{Bas de page |
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Version du 1 décembre 2018 à 20:18
Dans cette leçon, on va aborder les relations de comparaison entre les suites et l'objectif est de se concentrer sur le comportement des suites en l'infini.
Suites équivalentes
Intuitivement, deux suites vont être équivalentes si elles sont « à peu près égales quand devient très grand », et ainsi elles auront le même « comportement » en l'infini. C'est ce que traduit la définition suivante :
On dit que deux suites et sont équivalentes, ce que l'on note , ou plus simplement , lorsqu'il existe une suite qui converge vers et telle que à partir d'un certain rang.
- Remarques
-
- Pour des suites équivalentes, la notation est non ambiguë (de même que la notation pour la limite d'une suite), contrairement à pour des fonctions.
- D'après la définition, les seules suites équivalentes à la suite nulle sont les suites nulles à partir d'un certain rang. Ainsi, nous avons la caractérisation suivante, très utile pour déterminer des équivalents (attention, on a souvent tendance à penser que ceci constitue la définition des suites équivalentes).
Regardons maintenant quelques exemples de suites équivalentes qui s'obtiennent directement en montrant que .
- Soit un réel non nul. Une suite converge vers si et seulement si .
- Soit une suite définie par où est un polynôme de degré et de coefficient dominant . Alors, .
- Soit la suite définie par . Alors, .
Montrons maintenant que le vocabulaire retenu ici est cohérent.
La relation est une relation d'équivalence. Pour rappel, on a alors, pour toutes suites , et :
- (réflexivité) ;
- si alors (symétrie) ;
- si et alors (transitivité).
La démonstration est assez directe mais rédigeons-la afin de nous habituer aux raisonnements. Soit , et trois suites.
- Pour la réflexivité :
- Posons . On a ainsi , ce qui par définition donne .
- Pour la symétrie :
- Supposons que .
- Alors, il existe une suite telle que et tel que . Comme converge vers , il existe tel que pour tout .
- On a ainsi et , et donc .
- Pour la transitivité :
- Supposons que et .
- Alors, il existe une suite telle que et tel que , et une suite telle que et tel que .
- Et finalement, et , d'où .
Théorème de comparaison avec une suite géométrique
Soient une suite strictement positive et un réel.
- Si pour , et si , alors .
- Si pour , et si , alors .