« Approfondissement sur les suites numériques/Relations de comparaison » : différence entre les versions
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Début du cours sur les suites équivalentes |
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Dans cette leçon, on va aborder les relations de comparaison entre les suites et l'objectif est de se concentrer sur le comportement des suites en l'infini. |
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== Suites équivalentes == |
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Intuitivement, deux suites vont être équivalentes quand <math>n</math> devient très grand si elles sont à peu près égales, et ainsi elles auront le même comportement en l'infini. C'est ce que traduit la définition suivante : |
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{{Définition |
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|contenu = |
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Soient <math>(u_n)</math> et <math>(v_n)</math> deux suites. On dit que <math>(u_n)</math> et <math>(v_n)</math> sont équivalentes, ce que l'on note <math>u_n \underset{n \rightarrow \infty}{\sim} v_n</math>,lorsqu'il existe une suite <math>(w_n)</math> qui converge vers <math>1</math> et tel que <math>u_n=v_n.w_n</math> à partir d'un certain rang. |
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;Remarque : |
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D'après la définition, les seules suites équivalentes à la suite nulle sont les suites <math>u_n</math> nulle à partir d'un certain rang. Ainsi, nous avons la caractérisation suivante très utile pour déterminer des équivalents (attention on a souvent tendance à penser que ceci constitue la définition des suites équivalentes). |
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{{Proposition |
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| contenu = |
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Si <math>(u_n)</math> et <math>(v_n)</math> ne s'annule pas pour <math>n</math> assez grand alors : |
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<math>u_n \underset{n \rightarrow \infty}{\sim} v_n \Longleftrightarrow \frac{u_n}{v_n} \underset {n\rightarrow \infty}{\longrightarrow} 1</math> |
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Regardons maintenant quelques exemples de suites équivalentes qui s'obtiennent directement en montrant que <math>\frac{u_n}{v_n} \underset {n\rightarrow \infty}{\longrightarrow} 1</math>. |
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{{Exemple |
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| contenu = |
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* Soit <math>(u_n)</math> une suite telle que <math>u_n\underset {n\rightarrow \infty}{\longrightarrow} l</math> avec <math>l \neq 0</math> et <math> l\neq \pm \infty</math> alors <math>u_n\underset {n\rightarrow \infty}{\sim} l</math>. |
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* Soit <math>(u_n)</math> une suite définie par <math>u_n=P(n)</math> où <math>P</math> est un polynôme de degré <math>n</math>. |
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alors <math>u_n \underset{n\rightarrow \infty}{\sim}x^n</math>. |
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*Soit <math>(u_n)</math> la suite définie par <math>u_n=sin(\frac{1}{n^2})</math> alors <math>u_n \underset{n\rightarrow \infty}{\sim}\frac{1}{n^2}</math> . |
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Montrons maintenant que le vocabulaire retenu ici est cohérent. |
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{{Proposition |
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|contenu = La relation <math>u_n \underset{n \rightarrow \infty}{\sim} v_n</math> est une relation d'équivalence. |
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Pour rappel, on a alors, pour toutes suites <math>u_n</math>, <math>v_n</math> et <math>w_n</math> : |
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* <math>u_n \underset{n \rightarrow \infty}{\sim} u_n</math> (Réflexivité). |
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*Si <math>u_n \underset{n \rightarrow \infty}{\sim} v_n</math> alors <math>v_n \underset{n \rightarrow \infty}{\sim} u_n</math>(Symétrie). |
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*Si <math>u_n \underset{n \rightarrow \infty}{\sim} v_n</math> et <math>v_n \underset{n \rightarrow \infty}{\sim} w_n</math> alors <math>u_n \underset{n \rightarrow \infty}{\sim} w_n</math> (Transitivité). |
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{{Démonstration déroulante |
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|contenu= |
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La démonstration est assez directe mais rédigeons la afin de s'habituer aux raisonnements. |
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Soit <math>u_n</math>, <math>v_n</math> et <math>w_n</math> trois suites. |
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*Pour la réflexivité : |
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Posons <math>\forall n \in \N,\quad\alpha_n=1</math>. On a ainsi <math>\forall n \in \N, \quad u_n=\alpha_n.u_n</math>, ce qui par définition donne <math>u_n \underset{n \rightarrow \infty}{\sim} u_n</math>. |
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*Pour la symétrie : |
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Supposons que <math>u_n \underset{n \rightarrow \infty}{\sim} v_n</math>. |
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Alors, il existe une suite <math>(\alpha_n)</math> telle que <math>\alpha_n \underset {n\rightarrow \infty}{\longrightarrow} 1</math> et <math>\exists N_0\in \N</math> tel que <math>\forall n>N_0,\quad u_n=\alpha_n.v_n</math>. Comme <math>\alpha_n</math> converge vers <math>1</math>, il existe <math>N\in \N</math> tel que pour tout <math>n>N,\quad \alpha_n>0</math>. |
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On a ainsi <math>\forall n>max(N_0,N),\quad v_n=\frac{1}{\alpha_n}.u_n</math> et <math>\frac{1}{\alpha_n} \underset{n \rightarrow \infty}{\longrightarrow}1</math>, et donc <math>u_n \underset{n \rightarrow \infty}{\sim} v_n</math>. |
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*Pour la transitivité : |
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Supposons que <math>u_n \underset{n \rightarrow \infty}{\sim} v_n</math> et <math>v_n \underset{n \rightarrow \infty}{\sim} w_n</math>. |
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Alors, il existe une suite <math>(\alpha_n)</math> telle que <math>\alpha_n \underset {n\rightarrow \infty}{\longrightarrow} 1</math> et <math>\exists N_0\in \N</math> tel que <math>\forall n>N_0,\quad u_n=\alpha_n.v_n</math>, et une suite <math>(\beta_n)</math> telle que <math>\beta_n \underset {n\rightarrow \infty}{\longrightarrow} 1</math> et <math>\exists N_1\in \N</math> tel que <math>\forall n>N_1,\quad v_n=\beta_n.w_n</math>. |
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Et finalement, <math>\forall n>max(N_0,N_1),\quad u_n=\alpha_n.\beta_n.w_n</math> et <math>\alpha_n.\beta_n \underset{n \rightarrow \infty}{\longrightarrow}1</math>, d'où <math>u_n \underset{n \rightarrow \infty}{\sim} w_n</math>. |
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== Théorème de comparaison avec une suite géométrique == |
== Théorème de comparaison avec une suite géométrique == |
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{{Théorème|contenu= |
{{Théorème|contenu= |
Version du 1 décembre 2018 à 17:41
Dans cette leçon, on va aborder les relations de comparaison entre les suites et l'objectif est de se concentrer sur le comportement des suites en l'infini.
Suites équivalentes
Intuitivement, deux suites vont être équivalentes quand devient très grand si elles sont à peu près égales, et ainsi elles auront le même comportement en l'infini. C'est ce que traduit la définition suivante :
Soient et deux suites. On dit que et sont équivalentes, ce que l'on note ,lorsqu'il existe une suite qui converge vers et tel que à partir d'un certain rang.
- Remarque
D'après la définition, les seules suites équivalentes à la suite nulle sont les suites nulle à partir d'un certain rang. Ainsi, nous avons la caractérisation suivante très utile pour déterminer des équivalents (attention on a souvent tendance à penser que ceci constitue la définition des suites équivalentes).
Regardons maintenant quelques exemples de suites équivalentes qui s'obtiennent directement en montrant que .
- Soit une suite telle que avec et alors .
- Soit une suite définie par où est un polynôme de degré .
alors .
- Soit la suite définie par alors .
Montrons maintenant que le vocabulaire retenu ici est cohérent.
La relation est une relation d'équivalence. Pour rappel, on a alors, pour toutes suites , et :
- (Réflexivité).
- Si alors (Symétrie).
- Si et alors (Transitivité).
La démonstration est assez directe mais rédigeons la afin de s'habituer aux raisonnements. Soit , et trois suites.
- Pour la réflexivité :
Posons . On a ainsi , ce qui par définition donne .
- Pour la symétrie :
Supposons que . Alors, il existe une suite telle que et tel que . Comme converge vers , il existe tel que pour tout . On a ainsi et , et donc .
- Pour la transitivité :
Supposons que et . Alors, il existe une suite telle que et tel que , et une suite telle que et tel que . Et finalement, et , d'où .
Théorème de comparaison avec une suite géométrique