« Espaces vectoriels normés/Exercices/Dimension finie » : différence entre les versions
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#Soient <math>x_0,\dots,x_n</math>, <math>n+1</math> nombres réels distincts. Montrer que pour tout <math>p\in\left[1,+\infty\right]</math>, l'application suivante est une norme sur le sous-espace <math>\R_n[X]</math> des polynômes de degré au plus <math>n</math> : |
#Soient <math>x_0,\dots,x_n</math>, <math>n+1</math> nombres réels distincts. Montrer que pour tout <math>p\in\left[1,+\infty\right]</math>, l'application suivante est une norme sur le sous-espace <math>\R_n[X]</math> des polynômes de degré au plus <math>n</math> : |
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#:<math>P\mapsto\|\left(P(x_0),\dots,P(x_n)\right)\|_p</math>, où <math>\|\cdot\|_p</math> est la norme <math>\ell^p</math> sur <math>\R^{n+1}</math>. |
#:<math>P\mapsto\|\left(P(x_0),\dots,P(x_n)\right)\|_p</math>, où <math>\|\cdot\|_p</math> est la norme <math>\ell^p</math> sur <math>\R^{n+1}</math>. |
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#Montrer que pour tout <math>n\in\N</math>, il existe une constante <math>C_n</math> telle que : |
#Montrer que pour tout <math>n\in\N</math>, il existe une constante <math>C_n</math> (qu'on ne demande pas d'expliciter) telle que : |
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#:<math>\forall P\in\R_n[X]\quad\|P\|_\infty\le C_n\|P\|_1</math>. |
#:<math>\forall P\in\R_n[X]\quad\|P\|_\infty\le C_n\|P\|_1</math>. |
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#Est-ce encore vrai sur <math>\R[X]</math> ? (On pourra considérer la suite des polynômes <math>X^n</math>.) |
#Est-ce encore vrai sur <math>\R[X]</math> ? (On pourra considérer la suite des polynômes <math>X^n</math>.) |
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#*<math>\|\cdot\|_\infty</math> est même une norme sur l'espace des fonctions bornées de <math>\left[0,1\right]</math> dans <math>\R</math>. En effet, c'est une semi-norme (comme sup d'une famille d'applications qui, par le principe général énoncé au point précédent, sont des semi-normes) et elle ne s'annule qu'en 0. |
#*<math>\|\cdot\|_\infty</math> est même une norme sur l'espace des fonctions bornées de <math>\left[0,1\right]</math> dans <math>\R</math>. En effet, c'est une semi-norme (comme sup d'une famille d'applications qui, par le principe général énoncé au point précédent, sont des semi-normes) et elle ne s'annule qu'en 0. |
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#C'est une semi-norme (toujours par le même principe général) et elle ne s'annule qu'en 0, car si <math>P\in\R_n[X]</math> a <math>n+1</math> racines distinctes alors <math>P=0</math>. |
#C'est une semi-norme (toujours par le même principe général) et elle ne s'annule qu'en 0, car si <math>P\in\R_n[X]</math> a <math>n+1</math> racines distinctes alors <math>P=0</math>. |
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#Sur <math>\R_n[X]</math>, toutes les normes sont équivalentes. |
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#[[w:Théorème de Borel-Lebesgue#Contre-exemple en dimension infinie]] |
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#Non car <math>\|X^n\|_\infty=1</math> tandis que <math>\|X^n\|_1=\frac1{n+1}</math>. |
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Version du 16 septembre 2018 à 17:50
Exercice 2-1
Soit . Montrer que son exponentielle est un polynôme en ou plus généralement, que pour toute fonction d'une variable complexe développable en série entière en , avec un rayon de convergence strictement supérieur à la norme subordonnée de (pour une norme arbitraire fixée sur ).
Solution
Par définition, est une limite de polynômes en (les sommes partielles de la série entière). Puisque est de dimension finie, le sous-espace vectoriel est fermé.
Exercice 2-2 : densité de GLn
Soit ou . Démontrer que dans (muni d'une norme arbitraire), le sous-ensemble des matrices inversibles est dense.
Solution
Soit . Son polynôme caractéristique n'a qu'un nombre fini de racines donc il existe tel que pour tout entier , , ce qui prouve que est adhérent à .
Exercice 2-3 : quelques normes sur
- Représenter graphiquement les boules unité de muni respectivement des normes
- .
- Montrer que ces normes sont équivalentes en explicitant les constantes associées.
- On considère l'application linéaire définie par . Calculer la norme d'opérateur associée.
- Même question en remplaçant par les deux autres normes ci-dessus.
Solution
- La figure montre que , avec égalités si , et que , avec égalité si .
Il est très facile de redémontrer directement ces trois inégalités (et les cas d'égalité).
Pour la comparaison entre et , on a même trouvé les constantes optimales : . On les trouve de même pour les deux autres paires (en dilatant l'une des deux boules jusqu'à contenir l'autre) : et .
Plus généralement, sur , on a , la seconde inégalité se déduisant de l'inégalité de Hölder. - est une similitude directe de rapport donc
-
- Pour , .
- Pour , .
Exercice 2-4 : quelques normes sur les polynômes
- Montrer que les applications suivantes sont des normes sur l'espace des polynômes réels :
- ;
- ;
- .
- Soient , nombres réels distincts. Montrer que pour tout , l'application suivante est une norme sur le sous-espace des polynômes de degré au plus :
- , où est la norme sur .
- Montrer que pour tout , il existe une constante (qu'on ne demande pas d'expliciter) telle que :
- .
- Est-ce encore vrai sur ? (On pourra considérer la suite des polynômes .)
Solution
-
- est même une norme sur l'espace des fonctions intégrables de dans , dont s'identifie à un sous-espace.
- est une semi-norme (c.-à-d. qu'elle est positivement homogène et sous-additive) car les deux applications dont elle est la somme sont semi-normes. En effet, plus généralement, la composée d'une semi-norme et d'une application linéaire est une semi-norme. De plus, si alors et donc .
- est même une norme sur l'espace des fonctions bornées de dans . En effet, c'est une semi-norme (comme sup d'une famille d'applications qui, par le principe général énoncé au point précédent, sont des semi-normes) et elle ne s'annule qu'en 0.
- C'est une semi-norme (toujours par le même principe général) et elle ne s'annule qu'en 0, car si a racines distinctes alors .
- Sur , toutes les normes sont équivalentes.
- Non car tandis que .