« Espaces vectoriels normés/Exercices/Dimension finie » : différence entre les versions

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== Exercice 2-3 : quelques normes sur <math>\R^2</math>==
#Représenter graphiquement les boules unitésunité de <math>\R^2</math> muni respectivement des normes
#:<math>\|(x,y)\|_1=|x|+|y|,\quad\|(x,y)\|_2=\sqrt{x^2+y^2}\quad\text{et}\quad\|(x,y)\|_\infty=\max(|x|,|y|).</math>.
#Montrer que ces normes sont équivalentes en explicitant les constantes associées.
#On considère l'application linéaire <math>u:(\R^2,\|\cdot\|_2)\to(\R^2,\|\cdot\|_2)</math> définie par <math>u(x,y)=(x+y,x-y)</math>. Calculer la norme d'opérateur <math>|\!|\!|u|\!|\!|</math> associée.
#Même question en remplaçant <math>\|\cdot\|_2</math> par les deux autres normes ci-dessus.
{{Solution|contenu=
#[[File:Vector norms2.svg|thumb|left|Les cercles unité (en gras) associés aux trois normes.]]{{clr}}
#La figure montre que <math>\|(x,y)\|_1\ge\|(x,y)\|_2\ge\|(x,y)\|_\infty</math>, avec égalités si <math>\{|x|,|y|\}=\{0,1\}</math>, et que <math>\|(x,y)\|_\infty\ge\frac1\sqrt2\|(x,y)\|_1</math>, avec égalité si <math>\{|x|,|y|\}=\{1,1\}</math>.<br>Il est très facile de redémontrer directement ces trois inégalités (et les cas d'égalité).<br>Pour la comparaison entre <math>\|\cdot\|_1</math> et <math>\|\cdot\|_\infty</math>, on a même trouvé les constantes optimales : <math>\|(x,y)\|_\infty\le\|(x,y)\|_1\le\sqrt2\|(x,y)\|_\infty</math>.
#{{en cours}}
}}
 
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