Espaces vectoriels normés/Exercices/Dimension finie

Exercice 2-1

Soit $A\in \operatorname {M} _{n}(\mathbb {C} )$. Montrer que son exponentielle est un polynôme en $A$ ou plus généralement, que $f(A)\in \mathbb {C} [A]$ pour toute fonction $f$ d'une variable complexe développable en série entière en $0$, avec un rayon de convergence strictement supérieur à la norme subordonnée de $A$ (pour une norme arbitraire fixée sur $\mathbb {C} ^{n}$).

Solution

Par définition, $f(A)$ est une limite de polynômes en $A$ (les sommes partielles de la série entière). Puisque $\operatorname {M} _{n}(\mathbb {C} )$ est de dimension finie, le sous-espace vectoriel $\mathbb {C} [A]$ est fermé.

 

Exercice 2-2 : densité de GL_n

Soit $K=\mathbb {R}$ ou $\mathbb {C}$. Démontrer que dans $\mathrm {M} _{n}(K)$ (muni d'une norme arbitraire), le sous-ensemble $\mathrm {GL} _{n}(K)$ des matrices inversibles est dense.

Solution

Soit $A\in \mathrm {M} _{n}(\mathbb {C} )$. Son polynôme caractéristique n'a qu'un nombre fini de racines donc il existe $N\in \mathbb {N}$ tel que pour tout entier $k>N$, $A-{\frac {1}{k}}\mathrm {I} _{n}\in \mathrm {GL} _{n}(K)$, ce qui prouve que $A$ est adhérent à $\mathrm {GL} _{n}(K)$.

 

Exercice 2-3 : quelques normes sur $\mathbb {R} ^{2}$

1. Représenter graphiquement les boules unités de $\mathbb {R} ^{2}$ muni respectivement des normes

   $\|(x,y)\|_{1}=|x|+|y|,\quad \|(x,y)\|_{2}={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\quad {\text{et}}\quad \|(x,y)\|_{\infty }=\max(|x|,|y|).$

2. Montrer que ces normes sont équivalentes en explicitant les constantes associées.
3. On considère l'application linéaire $u:(\mathbb {R} ^{2},\|\cdot \|_{2})\to (\mathbb {R} ^{2},\|\cdot \|_{2})$ définie par $u(x,y)=(x+y,x-y)$. Calculer la norme d'opérateur $|\!|\!|u|\!|\!|$ associée.
4. Même question en remplaçant $\|\cdot \|_{2}$ par les deux autres normes ci-dessus.

Solution

Cette solution n'a pas été rédigée. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu » du modèle. ^{Comment faire ?}