« Polynôme/Exercices/Racines de polynômes » : différence entre les versions
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Soit <math>P</math> une solution non nulle. |
Soit <math>P</math> une solution non nulle. |
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Remarquons d'abord que son coefficient dominant est nécessairement égal à <math>1</math>. Cherchons ensuite ses racines. |
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Soit <math>\lambda</math> une racine de <math>P</math>. Alors : |
Soit <math>\lambda</math> une racine de <math>P</math>. Alors : |
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*D'après <math>(1)</math>, tous les <math>\lambda^{2^n}\;(n\in\N)</math> sont racines de <math>P</math> donc ils sont en nombre fini, ce qui implique que <math>\lambda</math> est nul ou racine de l'unité (donc de module 1) ; |
*D'après <math>(1)</math>, tous les <math>\lambda^{2^n}\;(n\in\N)</math> sont racines de <math>P</math> donc ils sont en nombre fini, ce qui implique que <math>\lambda</math> est nul ou racine de l'unité (donc de module 1) ; |
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*D'après <math>(2)</math>, <math>\lambda-1</math> est donc aussi nul ou de module 1 ; |
*D'après <math>(2)</math>, <math>\lambda-1</math> est donc aussi nul ou de module 1 ; |
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*Par conséquent, <math>\lambda\in\{0,1,-\mathrm j^2,-\mathrm j\}</math> |
*Par conséquent, <math>\lambda\in\{0,1,-\mathrm j^2,-\mathrm j\}</math> donc aussi (d'après <math>(1)</math>) <math>\lambda^2\in\{0,1,-\mathrm j^2,-\mathrm j\}</math>. |
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Finalement, les seules racines possibles de <math>P</math> sont <math>0</math> et <math>1</math>. |
Finalement, les seules racines possibles de <math>P</math> sont <math>0</math> et <math>1</math>. |
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Soit <math>P= |
Soit <math>P=aX^p(X-1)^q</math> avec <math>p,q\in\N</math> et <math>a\in\C^*</math>. Alors, <math>P(X^2)=P(X)P(X+1)\Leftrightarrow aX^{2p}(X-1)^{2q}=a^2X^p(X-1)^q(X+1)^pX^q\Leftrightarrow a=1\text{ et }p=q</math>. |
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Les solutions sont donc : <math>P=0</math> ou |
Les solutions sont donc : <math>P=0</math> ou <math>P(X)=(X^2-X)^n\text{ avec }n\in\N</math>. |
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Version du 23 août 2018 à 10:38
Exercice 1-1
Trouver tous les polynômes tels que .
Solution
Soit une solution non nulle.
Soit une racine de . Alors :
- et ;
- D'après , tous les sont racines de donc ils sont en nombre fini, ce qui implique que est nul ou racine de l'unité (donc de module 1) ;
- D'après , est donc aussi nul ou de module 1 ;
- Par conséquent, donc aussi (d'après ) .
Finalement, les seules racines possibles de sont et .
Soit avec et . Alors, .
Les solutions sont donc : ou .
Exercice 1-2
On note l’ensemble des polynômes unitaires de degré de dont les racines ont leur module inférieur ou égal à 1.
- Montrer que est fini.
- Soit un élément de . On note le polynôme . Montrer que .
- Montrer que les racines non nulles des éléments de sont des racines de l'unité.
Solution
- D'après les relations entre coefficients et racines, les coefficients d'un tel polynôme sont bornés.
- car .
- Soit une racine non nulle d'un élément de . D'après la question 2, les pour sont aussi des racines d'éléments de et d'après la question 1, il n'y en a qu'un nombre fini. Il existe donc distincts tels que .
Exercice 1-3
Déterminer les polynômes tels que .
Solution
Puisque est premier avec , un polynôme est solution si et seulement si pour un tel que , c.-à-d. .
De même, est solution de l'équation précédente si et seulement si pour un tel que , c.-à-d. .
Et ainsi de suite. Finalement, est solution si et seulement si pour un tel que .
Les solutions sont donc les polynômes de la forme avec .
Exercice 1-4
Soit . Montrer que :
- a une unique réelle ;
- .
- Soient les deux autres racines de . Exprimer et en fonction de .
- En déduire que .
- Calculer .
Solution
- Une rapide étude de variations montre que la fonction polynôme du troisième degré (continue, et de limite en ) est strictement positive sur et strictement croissante sur . Elle s'annule donc exactement une fois.
- donc .
- De on déduit (en identifiant les coefficients en degrés 2 et 0) : et .
- donc , et .
- .