« Polynôme/Exercices/Racines de polynômes » : différence entre les versions

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#Une rapide étude de variations montre que la [[Équation du troisième degré/Fonctions polynômes du troisième degré#Premier cas : le coefficient du terme de plus haut degré est positif et Δ' est strictement positif|fonction polynôme du troisième degré <math>x\mapsto x^3-x+1</math>]] (continue, et de limite <math>-\infty</math> en <math>-\infty</math>) est strictement positive sur <math>\left[-1/\sqrt3,+\infty\right[</math> et strictement croissante sur <math>\left]-\infty,-1/\sqrt3\right]</math>. Elle s'annule donc exactement une fois.
#Une rapide étude de variations montre que la [[Équation du troisième degré/Fonctions polynômes du troisième degré#Premier cas : le coefficient du terme de plus haut degré est positif et Δ' est strictement positif|fonction polynôme du troisième degré <math>x\mapsto x^3-x+1</math>]] (continue, et de limite <math>-\infty</math> en <math>-\infty</math>) est strictement positive sur <math>\left[-1/\sqrt3,+\infty\right[</math> et strictement croissante sur <math>\left]-\infty,-1/\sqrt3\right]</math>. Elle s'annule donc exactement une fois.
#<math>\alpha<-1/\sqrt3<-1</math>.
#<math>P\left(-1\right)=1>0</math> donc <math>\alpha<-1</math>.
#De <math>X^3-X+1=(X-\alpha)(X-\beta)(X-\gamma)</math> on déduit (en identifiant les coefficients en degrés 2 et 0) : <math>\beta+\gamma=-\alpha</math> et <math>\beta\gamma=-1/\alpha</math>.
#De <math>X^3-X+1=(X-\alpha)(X-\beta)(X-\gamma)</math> on déduit (en identifiant les coefficients en degrés 2 et 0) : <math>\beta+\gamma=-\alpha</math> et <math>\beta\gamma=-1/\alpha</math>.
#<math>\beta+\gamma,\beta\gamma\in\R</math> donc <math>\gamma=\overline\beta</math>, et <math>|\beta|^2=|\gamma|^2=-1/\alpha<1</math>.
#<math>\beta+\gamma,\beta\gamma\in\R</math> donc <math>\gamma=\overline\beta</math>, et <math>|\beta|^2=|\gamma|^2=-1/\alpha<1</math>.

Version du 14 janvier 2018 à 21:07

Racines de polynômes
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Exercices no1
Leçon : Polynôme

Exercices de niveau 14.

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Polynôme/Exercices/Racines de polynômes
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Exercice 1-1

Trouver tous les polynômes tels que .

Exercice 1-2

On note l’ensemble des polynômes unitaires de degré de dont les racines ont leur module inférieur ou égal à 1.

  1. Montrer que est fini.
  2. Soit un élément de . On note le polynôme . Montrer que .
  3. Montrer que les racines non nulles des éléments de sont des racines de l'unité.

Exercice 1-3

Déterminer les polynômes tels que .

Exercice 1-4

Soit . Montrer que :

  1. a une unique réelle  ;
  2. .
  3. Soient les deux autres racines de . Exprimer et en fonction de .
  4. En déduire que .
  5. Calculer .