Trigonométrie/Exercices/Établissement de formules 2

Exercice 4-1

Démontrez les identités suivantes :

1°  $\tan 2a-\tan a={\frac {\tan a}{\cos 2a}}$ ;

2°  $\tan 2a-\tan a={\frac {2\sin a}{\cos a+\cos 3a}}$ ;

3°  $\sin 2a={\frac {2}{\tan a+\cot a}}$ ;

4°  ${\frac {2\tan ^{2}a}{1+\tan ^{4}a}}={\frac {\tan ^{2}2a}{2+\tan ^{2}2a}}$.

Solution

1°  $\left(\tan 2a-\tan a\right)\cos 2a=\sin 2a-\tan a\cos 2a={\frac {2\tan a}{1+\tan ^{2}a}}-\tan a{\frac {1-\tan ^{2}a}{1+\tan ^{2}a}}={\frac {\tan a+\tan ^{3}a}{1+\tan ^{2}a}}=\tan a$.

2°  ${\frac {2\sin a}{\cos a+\cos 3a}}={\frac {\sin a}{\cos 2a\cos a}}={\frac {\tan a}{\cos 2a}}$ ($=\tan 2a-\tan a$ d'après 1°).

3°  $\tan a+\cot a={\frac {\sin ^{2}a+\cos ^{2}a}{\cos a\sin a}}={\frac {2}{\sin 2a}}$.

4°  $\tan ^{2}2a={\frac {4\tan ^{2}a}{\left(1-\tan ^{2}a\right)^{2}}}$ donc ${\frac {\tan ^{2}2a}{2+\tan ^{2}2a}}={\frac {4\tan ^{2}a}{2\left(1-\tan ^{2}a\right)^{2}+4\tan ^{2}a}}={\frac {2\tan ^{2}a}{1+\tan ^{4}a}}$.

 

Exercice 4-2

Démontrez les formules suivantes :

1°  ${\frac {1-\cos a}{1+\cos a}}=\tan ^{2}{\frac {a}{2}}$ ;

2°  ${\frac {1-\sin a}{\cos a}}={\frac {\cos a}{1+\sin a}}=\tan \left({\frac {\pi }{4}}-{\frac {a}{2}}\right)$ ;

3°  ${\frac {1-\sin a}{1+\sin a}}=\tan ^{2}\left({\frac {\pi }{4}}-{\frac {a}{2}}\right)$.

Solution

On a $\tan {\frac {a}{2}}={\frac {1-\cos a}{\sin a}}={\frac {\sin a}{1+\cos a}}$ (cf. exercice 4-7), d'où 1° (par produit) et 2° (en remplaçant $a$ par ${\tfrac {\pi }{2}}-a$). 3° se déduit de 2° par produit, ou de 1° en remplaçant $a$ par ${\tfrac {\pi }{2}}-a$.

 

Exercice 4-3

Soit $p$ et $q$ deux réels tels que $\cos p\neq 0$ et $\sin p\neq 0$. Démontrer que :

1°  $\tan p+\tan q={\frac {\sin(p+q)}{\cos p\cos q}}$

2°  $\tan p-\tan q={\frac {\sin(p-q)}{\cos p\cos q}}$

Solution

Cette solution n'a pas été rédigée. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu » du modèle. ^{Comment faire ?}

 

Exercice 4-4

Démontrer, que pour tout réel $\alpha$ :

1°  $\cos \alpha +\sin \alpha ={\sqrt {2}}\cos \left({\frac {\pi }{4}}-\alpha \right)={\sqrt {2}}\sin \left({\frac {\pi }{4}}+\alpha \right)$

2°  $\cos \alpha -\sin \alpha ={\sqrt {2}}\cos \left({\frac {\pi }{4}}+\alpha \right)={\sqrt {2}}\sin \left({\frac {\pi }{4}}-\alpha \right)$

Solution

1°  Il suffit de remarquer que

$\cos \left({\frac {\pi }{4}}\right)=\sin \left({\frac {\pi }{4}}\right)={\frac {\sqrt {2}}{2}}$

De là,

$\cos \alpha +\sin \alpha ={\sqrt {2}}\left[{\frac {\sqrt {2}}{2}}\cos \alpha +{\frac {\sqrt {2}}{2}}\sin \alpha \right]={\sqrt {2}}\left[\cos \left({\frac {\pi }{4}}\right)\cos \alpha +\sin \left({\frac {\pi }{4}}\right)\sin \alpha \right]={\sqrt {2}}\cos \left({\frac {\pi }{4}}-\alpha \right)$

ou

$\cos \alpha +\sin \alpha ={\sqrt {2}}\left[{\frac {\sqrt {2}}{2}}\cos \alpha +{\frac {\sqrt {2}}{2}}\sin \alpha \right]={\sqrt {2}}\left[\sin \left({\frac {\pi }{4}}\right)\cos \alpha +\cos \left({\frac {\pi }{4}}\right)\sin \alpha \right]={\sqrt {2}}\sin \left({\frac {\pi }{4}}+\alpha \right)$

Le 2° se fait sur le même raisonnement.

 

Exercice 4-5

Vérifier la relation :

$\tan \left({\frac {\pi }{4}}+a\right)-\tan \left({\frac {\pi }{4}}-a\right)=2\tan 2a$

Solution

Avec les égalités du 4-4 :

${\begin{aligned}\tan \left({\frac {\pi }{4}}+a\right)-\tan \left({\frac {\pi }{4}}-a\right)&={\frac {\sin \left({\frac {\pi }{4}}+a\right)}{\cos \left({\frac {\pi }{4}}+a\right)}}-{\frac {\sin \left({\frac {\pi }{4}}-a\right)}{\cos \left({\frac {\pi }{4}}-a\right)}}={\frac {\cos a+\sin a}{\cos a-\sin a}}-{\frac {\cos a-\sin a}{\cos a+\sin a}}\\&={\frac {1+{\frac {\sin a}{\cos a}}}{1-{\frac {\sin a}{\cos a}}}}-{\frac {1-{\frac {\sin a}{\cos a}}}{1+{\frac {\sin a}{\cos a}}}}={\frac {1+\tan a}{1-\tan a}}-{\frac {1-\tan a}{1+\tan a}}={\frac {(1+\tan a)^{2}-(1-\tan a)^{2}}{1-\tan ^{2}a}}\\&={\frac {4\tan a}{1-\tan ^{2}a}}=2\tan 2a\end{aligned}}$

 

Exercice 4-6

Vérifier les relations :

1°  $\cos 2a={\frac {1}{1+\tan a\tan 2a}}$

2°  $\sin 2a={\frac {1-\tan ^{2}\left({\frac {\pi }{4}}-a\right)}{1+\tan ^{2}\left({\frac {\pi }{4}}-a\right)}}$

Solution

Cette solution n'a pas été rédigée. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu » du modèle. ^{Comment faire ?}

 

Exercice 4-7

Vérifier les relations :

1°  $\tan a+\tan b={\frac {2\sin(a+b)}{\cos(a+b)+\cos(a-b)}}$ et $\tan a={\frac {\sin(2a)}{1+\cos(2a)}}={\frac {1-\cos(2a)}{\sin(2a)}}$.

2°  $\tan(a+b)={\frac {\sin ^{2}a-\sin ^{2}b}{\sin a\cos a-\sin b\cos b}}$

3°  $\tan ^{2}a-\tan ^{2}b={\frac {\sin(a+b)\sin(a-b)}{\cos ^{2}a\cos ^{2}b}}$

Solution partielle

1°  ${\frac {2\sin(a+b)}{\cos(a+b)+\cos(a-b)}}={\frac {{\cancel {2}}\left(\sin a\cos b+\cos a\sin b\right)}{{\cancel {2}}\cos a\cos b}}=\tan a+\tan b$. La seconde égalité s'en déduit en faisant $b=a$. Elle équivaut à la troisième, sachant que $\left(1+\cos(2a)\right)\left(1-\cos(2a)\right)=1-\cos ^{2}(2a)=\sin ^{2}(2a)$.

 

Exercice 4-8

Vérifier les relations :

1°  $\left(1+\tan a+{\frac {1}{\cos a}}\right)\left(1+\tan a-{\frac {1}{\cos a}}\right)={\frac {\sin 2a}{\cos ^{2}a}}$

2°  ${\frac {\cos 2a-\cos 4a}{\cos 2a+\cos 4a}}=\tan a\tan 3a={\frac {\tan ^{2}2a-\tan ^{2}a}{1-\tan ^{2}a\tan ^{2}2a}}$

Solution

Cette solution n'a pas été rédigée. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu » du modèle. ^{Comment faire ?}

 

Exercice 4-9

Vérifier les relations :

1°  $\sin 3a\sin ^{3}a+\cos 3a\cos ^{3}a=\cos ^{3}2a$

2°  $4\cos 3a\sin ^{3}a+4\sin 3a\cos ^{3}a=3\sin 4a$

Solution

Cette solution n'a pas été rédigée. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu » du modèle. ^{Comment faire ?}