Approfondissement sur les suites numériques/Suites extraites

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Suites extraites

Définition

On dit que $(v_{p})$ est une suite extraite (ou une sous-suite) de la suite $(u_{n})$ s'il existe une application $\phi :\mathbb {N} \to \mathbb {N}$ strictement croissante telle que $\forall p\in \mathbb {N} \quad v_{p}=u_{\phi (p)}$.

Limites de suites extraites

Début d’un théorème

Théorème

Si une suite admet une limite $\ell$ (finie ou infinie) alors toutes ses suites extraites ont pour limite $\ell$.

Fin du théorème

Corollaire

Si deux suites extraites de $(u_{n})$ ont deux limites différentes, alors $(u_{n})$ diverge.

Suite extraite d'une suite bornée

Début d’un théorème

Théorème

De toute suite réelle bornée on peut extraire une suite convergente.

Fin du théorème