« Polynôme/Exercices/Racines de polynômes » : différence entre les versions
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== Exercice 1-1 == |
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Trouver tous les polynômes <math> P </math> tels que <math>P(X^2)=P(X)P(X+1)</math>. |
Trouver tous les polynômes <math> P </math> tels que <math>P(X^2)=P(X)P(X+1)</math>. |
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== Exercice 1-2 == |
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On note <math>E_n</math> l’ensemble des polynômes unitaires de degré <math>n</math> de <math>\Z[X]</math> dont les racines ont leur module inférieur ou égal à 1. |
On note <math>E_n</math> l’ensemble des polynômes unitaires de degré <math>n</math> de <math>\Z[X]</math> dont les racines ont leur module inférieur ou égal à 1. |
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# Montrer que <math>E_n</math> est fini. |
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== Exercice 1-3== |
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Déterminer les polynômes <math>P \in \C[X]</math> tels que <math>\left.X P(X+1) = (X+4) P(X)\right.</math>. |
Déterminer les polynômes <math>P \in \C[X]</math> tels que <math>\left.X P(X+1) = (X+4) P(X)\right.</math>. |
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Version du 1 août 2017 à 17:04
Exercice 1-1
Trouver tous les polynômes tels que .
Soit une racine de . On a .
Si admet une infinité de racines. Donc est le polynôme nul.
Donc tout polynôme non nul satisfaisant cette équation n'admet comme racine éventuelle que 1, -1 et 0.
Si , avec a un scalaire, .
Par identification, on obtient le système :
Donc est nul ou est de la forme
Réciproquement, les polynômes de cette forme vérifient bien l'équation :
Exercice 1-2
On note l’ensemble des polynômes unitaires de degré de dont les racines ont leur module inférieur ou égal à 1.
- Montrer que est fini.
- Soit un élément de . On note le polynôme . Montrer que .
- Montrer que les racines non nulles des éléments de sont des racines de l'unité.
- D'après les relations entre coefficients et racines, les coefficients d'un tel polynôme sont bornés.
- car .
- Soit une racine non nulle d'un élément de . D'après la question 2, les pour sont aussi des racines d'éléments de et d'après la question 1, il n'y en a qu'un nombre fini. Il existe donc distincts tels que .
Exercice 1-3
Déterminer les polynômes tels que .
Supposons que soit une racine de , alors , donc , ainsi est une racine de .
- Si est racine de , alors l’ensemble des racines de contient , ce qui est impossible, l’ensemble des racines de étant fini.
- Si est racine de , on abouti à la même contradiction.
- Si est racine de , alors l’ensemble des racines de contient .
Notons la plus petite racine de , nécessairement les racines de sont exactement , , ..., .
Comme , est scindé, on a alors :
- .
L'égalité s'écrit :
Donc nécessairement .
Réciproquement on vérifie que tout polynôme convient.