« Topologie générale/Continuité et homéomorphismes » : différence entre les versions

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La notion de continuité s'est clarifiée au {{s|19}}, grâce notamment aux travaux de [[w:Augustin Louis Cauchy|Cauchy]].
 
== Limite ==
{{Définition|contenu=
{{Wikipédia|Limite (mathématiques)|Limite}}
}}
 
== Continuité en un point ==
{{Définition|contenu=
Soient <math>X</math> et <math>Y</math> deux espaces topologiques, <math>f:X\to Y</math> une application et <math>a</math> un point de <math>X</math>. On dit que <math>f</math> est continue au point <math>a</math> si <math>f</math> a pour limite <math>f(a)</math> au point <math>a</math>.
}}
 
== Continuité globale ==
Soient <math>X</math> et <math>Y</math> deux espaces topologiques et <math>f:X\to Y</math> une application.
{{Définition|contenu=
}}
 
== Continuité et espaces produits ==
{{Propriété|contenu=
Soit <math>(X_i,\mathcal T_i)_{i\in I}</math> une famille d'espaces topologiques, <math>(X,\mathcal T)</math> l'[[../Espace produit|espace produit]] et <math>Y</math> un espace topologique.
}}
 
== Caractérisation séquentielle ==
{{Wikipédia|Espace à bases dénombrables de voisinages}}
Si tout point de <math>X</math> admet une [[../Bases#Base de voisinages|base de voisinages]] (finie ou) dénombrable — ''en particulier si <math>X</math> est un [[Topologie générale/Espace métrique|espace métrique]]'' — on dispose de caractérisations plus intuitives de l'adhérence et de la continuité :
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