Espaces vectoriels normés/Exercices/Applications linéaires continues

Exercice 1-1

$E={\mathcal {C}}([-1,1],\mathbb {R} )$ muni de la norme de la convergence uniforme.

${\begin{array}{ccccc}\varphi &:&E&\rightarrow &\mathbb {R} \\~&~&f&\mapsto &\int _{-1}^{1}{\frac {t\,f(t)}{1+t^{2}}}\mathrm {d} t.\end{array}}$

Montrer que $\varphi \in {\mathcal {L}}(E,\mathbb {R} )$ et calculer $|\!|\!|\varphi |\!|\!|$.

Solution

• La linéarité de l'intégrale assure la linéarité de $\varphi$.
• Soit $f\in E$. On a

  $|\varphi (f)|=\left|\int _{-1}^{1}{\frac {t\,f(t)}{1+t^{2}}}\,\mathrm {d} t\right|$

  donc $|\varphi (f)|\leq \int _{-1}^{1}{\frac {|t\,f(t)|}{1+t^{2}}}\,\mathrm {d} t\leq \|f\|_{\infty }\int _{0}^{1}{\frac {2t}{1+t^{2}}}\,\mathrm {d} t$

  donc $|\varphi (f)|\leq \|f\|_{\infty }\ln 2$.

  Conclusion : $\varphi \in {\mathcal {L}}(E,\mathbb {R} )$ et $|\!|\!|\varphi |\!|\!|\leq \ln 2$.

• On pose pour tout $n\in \mathbb {N} ^{*}$ la fonction $f_{n}\in E$ qui :
  • vaut $-1$ sur $\left[-1,-{\frac {1}{n}}\right]$ ;
  • vaut $1$ sur $\left[{\frac {1}{n}},1\right]$ ;
  • est affine sur $\left[-{\frac {1}{n}},{\frac {1}{n}}\right]$.

  On montre que $|\varphi (f_{n})|\longrightarrow _{n\to +\infty }\ln 2$.

  Finalement, $|\!|\!|\varphi |\!|\!|=\ln 2$.

 

Exercice 1-2

Soient $E$ un $K$-espace vectoriel normé et $u:E\to K$ une forme linéaire. Montrer que $u$ est continue si et seulement si son noyau est fermé.

Solution

Le singleton $\{0\}$ est fermé dans $K$ donc si $u$ est continue alors $\ker u=u^{-1}\left(\{0\}\right)$ est fermé dans $E$.

Réciproquement, supposons que $u$ n'est pas continue et démontrons que $\ker u$ n'est pas fermé. Par hypothèse, il existe une suite $(x_{n})$ de la boule unité de $E$ telle que $\|u(x_{n})\|\to +\infty$. À partir d'un certain rang $N$, $u(x_{n})\neq 0$, ce qui permet de définir

$y_{n}:=x_{N}-{\frac {u(x_{N})}{u(x_{n})}}x_{n}$.

Par construction, la suite $(y_{n})_{n\geq N}$ est à valeurs dans $\ker u$ et converge vers $x_{N}\notin \ker u$, ce qui conclut.