Équation de bilan de la quantité de mouvement/Forme locale

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En exprimant la forme globale

$\int \!\!\!\!\!\int \!\!\!\!\!\int _{V}\left({\frac {\partial (\rho {{\overrightarrow {v}})}}{\partial t}}+{\overrightarrow {\mathrm {div} }}\left(\rho {\overrightarrow {v}}\otimes {\overrightarrow {v}}\right)\right)\mathrm {d} V=\int \!\!\!\!\!\int \!\!\!\!\!\int _{V}{\overrightarrow {f_{V}}}\,\mathrm {d} V+\int \!\!\!\!\!\int \!\!\!\!\!\int _{V}{\overrightarrow {\hbox{div}}}\ {\overline {\overline {\mathrm {\tau } }}}{\mathrm {d} V}$,

il vient la forme conservative de l'équation de bilan de la quantité de mouvement :

${\frac {\partial (\rho {\overrightarrow {v}})}{\partial t}}+{\overrightarrow {\mathrm {div} }}\left(\rho {\overrightarrow {v}}\otimes {\overrightarrow {v}}\right)={\overrightarrow {f_{V}}}+{\overrightarrow {\hbox{div}}}\ {\overline {\overline {\mathrm {\tau } }}}$,

qui peut aussi s'exprimer sous sa forme non-conservative :

$\rho {\frac {\mathrm {d} {\overrightarrow {v}}}{\mathrm {d} t}}={\overrightarrow {f_{V}}}+{\overrightarrow {\hbox{div}}}\ {\overline {\overline {\mathrm {\tau } }}}\ \ \Longleftrightarrow \ \ \rho \,{\frac {\partial {\overrightarrow {v}}}{\partial t}}+\rho \left({\overrightarrow {v}}\cdot {\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\right){\overrightarrow {v}}={\overrightarrow {f_{V}}}+{\overrightarrow {\hbox{div}}}\ {\overline {\overline {\mathrm {\tau } }}}$.