« Espaces vectoriels normés/Exercices/Dimension finie » : différence entre les versions
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{{Solution|contenu=Par définition, <math>f(A)</math> est une limite de polynômes en <math>A</math> (les sommes partielles de la série entière). Puisque <math>\operatorname M_n(\C)</math> est de dimension finie, le sous-espace vectoriel <math>\C[A]</math> est fermé. |
{{Solution|contenu=Par définition, <math>f(A)</math> est une limite de polynômes en <math>A</math> (les sommes partielles de la série entière). Puisque <math>\operatorname M_n(\C)</math> est de dimension finie, le sous-espace vectoriel <math>\C[A]</math> est fermé. |
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== Exercice 2-2 : densité de GL{{ind|''n''}}== |
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Soit <math>K=\R</math> ou <math>\C</math>. Démontrer que dans <math>\mathrm M_n(K)</math> (muni de n'importe quelle [[Espaces vectoriels normés/Définitions - Éléments de Topologie#Norme et distance|norme, toutes étant équivalentes]]), le sous-ensemble <math>\mathrm{GL}_n(K)</math> des matrices inversibles est dense. |
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Soit <math>A\in\mathrm M_n(\C)</math>. Son polynôme caractéristique n'a qu'un nombre fini de racines donc il existe <math>N\in\N</math> tel que pour tout entier <math>k>N</math>, <math>A-\frac1k\mathrm I_n\in\mathrm{GL}_n(K)</math>, ce qui prouve que <math>A</math> est adhérent à <math>\mathrm{GL}_n(K)</math>. |
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Version du 22 juillet 2017 à 20:44
Exercice 2-1
Soit . Montrer que son exponentielle est un polynôme en ou plus généralement, que pour toute fonction d'une variable complexe développable en série entière en , avec un rayon de convergence strictement supérieur à la norme subordonnée de (pour une norme arbitraire fixée sur ).
Solution
Par définition, est une limite de polynômes en (les sommes partielles de la série entière). Puisque est de dimension finie, le sous-espace vectoriel est fermé.
Exercice 2-2 : densité de GLn
Soit ou . Démontrer que dans (muni de n'importe quelle norme, toutes étant équivalentes), le sous-ensemble des matrices inversibles est dense.
Solution
Soit . Son polynôme caractéristique n'a qu'un nombre fini de racines donc il existe tel que pour tout entier , , ce qui prouve que est adhérent à .