« Polynôme/Exercices/Racines de polynômes » : différence entre les versions
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== Exercice 1-2 == |
== Exercice 1-2 == |
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On note <math>E_n</math> l’ensemble des polynômes unitaires de degré <math> |
On note <math>E_n</math> l’ensemble des polynômes unitaires de degré <math>n</math> de <math>\Z[X]</math> dont les racines ont leur module inférieur ou égal à 1. |
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# Montrer que <math> |
# Montrer que <math>E_n</math> est fini. |
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# Soit <math> |
# Soit <math>P=\prod_{k=1}^n(X-z_k)</math> un élément de <math>E_n</math>. On note <math>Q</math> le polynôme <math>\prod_{k=1}^n(X-z_k^2)</math>. Montrer que <math>Q\in E_n</math>. |
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# Montrer que les racines des éléments de <math> |
# Montrer que les racines non nulles des éléments de <math>E_n</math> sont des racines de l'unité. |
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{{Solution|contenu= |
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#D'après les relations entre coefficients et racines, les coefficients d'un tel polynôme sont bornés. |
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#<math>Q\in\Z[X]</math> car <math>(-1)^nQ(X^2)=P(X)P(-X)</math>. |
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#Soit <math>z</math> une racine non nulle d'un élément de <math>E_n</math>. D'après la question 2, les <math>z^{2^p}</math> pour <math>p\in\N</math> sont aussi des racines d'éléments de <math>E_n</math> et d'après la question 1, il n'y en a qu'un nombre fini. Il existe donc <math>p,q\in\N</math> distincts tels que <math>z^{2^p}=z^{2^q}</math>. |
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== Exercice 1-3== |
== Exercice 1-3== |
Version du 28 juin 2017 à 11:24
Exercice 1-1
Trouver tous les polynômes tels que .
Soit une racine de . On a .
Si admet une infinité de racines. Donc est le polynôme nul.
Donc tout polynôme non nul satisfaisant cette équation n'admet comme racine éventuelle que 1, -1 et 0.
Si , avec a un scalaire, .
Par identification, on obtient le système :
Donc est nul ou est de la forme
Réciproquement, les polynômes de cette forme vérifient bien l'équation :
Exercice 1-2
On note l’ensemble des polynômes unitaires de degré de dont les racines ont leur module inférieur ou égal à 1.
- Montrer que est fini.
- Soit un élément de . On note le polynôme . Montrer que .
- Montrer que les racines non nulles des éléments de sont des racines de l'unité.
- D'après les relations entre coefficients et racines, les coefficients d'un tel polynôme sont bornés.
- car .
- Soit une racine non nulle d'un élément de . D'après la question 2, les pour sont aussi des racines d'éléments de et d'après la question 1, il n'y en a qu'un nombre fini. Il existe donc distincts tels que .
Exercice 1-3
Déterminer les polynômes tels que .
Supposons que soit une racine de , alors , donc , ainsi est une racine de .
- Si est racine de , alors l’ensemble des racines de contient , ce qui est impossible, l’ensemble des racines de étant fini.
- Si est racine de , on abouti à la même contradiction.
- Si est racine de , alors l’ensemble des racines de contient .
Notons la plus petite racine de , nécessairement les racines de sont exactement , , ..., .
Comme , est scindé, on a alors :
- .
L'égalité s'écrit :
Donc nécessairement .
Réciproquement on vérifie que tout polynôme convient.