« Espaces vectoriels normés/Exercices/Applications linéaires continues » : différence entre les versions

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| idfaculté = mathématiques
| chapitre = [[../../Limites et continuité/]]
| précédent = [[../../|Sommaire]]
| suivant = [[../..Dimension finie/|Sommaire]]
| numéro = 1
| niveau = 15
}}
 
== Exercice ==
 
<math>E=\mathcal C([-1;,1],\R)</math> muni de la norme de la convergence uniforme
 
<math>\begin{array}{ccccc}
\end{array}</math>
 
Montrer que <math>\varphi\in\mathcal L_cL(E,\R)</math> et calculer <math>|\!|\!|φ\varphi|\!|\!|</math>.
 
{{clr}}
{{Solution
| contenu =
* La linéarité de l'intégrale assure la linéarité de φ<math>\varphi</math>.
* Soit <math>f\in E</math>. On a
*:<math>|\varphi(f)|=\left|\int_{-1}^1\frac{t\,f(t)}{1+t^2}\,\mathrm dt\right|</math>
*:Doncdonc <math>|\varphi(f)|\leq\int_{-1}^1\frac{|t\,f(t)|}{1+t^2}\,\mathrm dt\leq|le\|f|\|_\infty\int_0^1\frac{2t}{1+t^2}\,\mathrm dt</math>
*:Doncdonc <math>|\varphi(f)|\leqle\ln(2)||f|\|_\infty\ln2</math>.
*:Conclusion : <math>\varphi\in\mathcal L(E,\R)</math> et <math>|\!|\!|\varphi|\!|\!|\leq\ln2</math>.
 
*On pose pour tout <math>n\in\mathbb N^*</math> la fonction f<submath>nf_n\in E</submath> de E définie parqui :
{{Encadre
* qui* vaut <math>-1</math> sur <math>\left[-1;,-\frac1n\right]</math> ;
| contenu =
** vaut <math>\varphi\in\mathcal L_c(E)1</math> etsur <math>|||\varphi|||left[\leqfrac1n,1\ln(2)right]</math> ;
** est affine sur <math>\left[-\frac1n;,\frac1n\right]</math>.
}}
*:On montre que <math>|\varphi(f_n)|\longrightarrow_{n \rightarrow to+ \infty}\ln(2)ln2</math>.
 
*:Finalement, <math>|\!|\!|\varphi|\!|\!|=\ln(2)ln2</math>.
On pose pour tout <math>n\in\mathbb N^*</math> la fonction f<sub>n</sub> de E définie par :
* qui vaut -1 sur <math>\left[-1;-\frac1n\right]</math>
* qui vaut 1 sur <math>\left[\frac1n;1\right]</math>
* affine sur <math>\left[-\frac1n;\frac1n\right]</math>
 
On montre que <math>|\varphi(f_n)|\longrightarrow_{n \rightarrow + \infty}\ln(2)</math>
 
{{Encadre
| contenu =
Finalement <math>|||\varphi|||=\ln(2)</math>
}}
}}
 
{{Bas de page
| idfaculté = mathématiques
| précédent = [[../../|Sommaire]]
| suivant = [[../..Dimension finie/|Sommaire]]
}}
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