Fonction exponentielle/Croissances comparées

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Comparaison entre e^x et x en + ∞

On a vu que la fonction $\exp$ est strictement croissante sur $\mathbb {R}$. On va montrer que quand $x$ tend vers $+\infty$, $\mathrm {e} ^{x}$ tend vers $+\infty$ « très vite » : plus vite que $x^{n}$, pour tout entier $n$.

Pour formaliser cela, on étudie la limite $\lim _{x\to +\infty }{\frac {\mathrm {e} ^{x}}{x^{n}}}$, qui est une forme indéterminée ${\frac {+\infty }{+\infty }}$.

Début d’un théorème

Croissances comparées en $+\infty$

$\forall n\in \mathbb {N} \quad \lim _{x\to +\infty }{\frac {\mathrm {e} ^{x}}{x^{n}}}=+\infty$.

Fin du théorème

Démonstration

Pour tout entier naturel $n$ et tout réel $x>0$,

${\sqrt[{n+1}]{\mathrm {e} ^{x}}}=\mathrm {e} ^{\frac {x}{n+1}}\geq 1+{\frac {x}{n+1}}>{\frac {x}{n+1}}$ donc $\mathrm {e} ^{x}>\left({\frac {x}{n+1}}\right)^{n+1}=Cx^{n+1}$ donc ${\frac {\mathrm {e} ^{x}}{x^{n}}}>Cx$.

Puisque $C>0$, $\lim _{x\to +\infty }Cx=+\infty$ donc par comparaison, $\lim _{x\to +\infty }{\frac {\mathrm {e} ^{x}}{x^{n}}}=+\infty$.

(Pour le cas $n=1$, une autre méthode est proposée en exercice.)

 

Comparaison entre e^x et x en - ∞

On en déduit la limite $\lim _{x\to -\infty }x^{n}\mathrm {e} ^{x}$, qui est une forme indéterminée $\pm \infty \times 0^{+}$.

Croissances comparées en $-\infty$

$\forall n\in \mathbb {N} \quad \lim _{x\to -\infty }x^{n}\mathrm {e} ^{x}=0$.

Démonstration

Qand $x\to -\infty$, $y:=-x\to +\infty$ donc $\left|x^{n}\mathrm {e} ^{x}\right|={\frac {y^{n}}{\mathrm {e} ^{y}}}=1\left/{\frac {\mathrm {e} ^{y}}{y^{n}}}\right.\to 1\left/+\infty \right.=0^{+}$.

 

En résumé

Quand on a une forme indéterminée produit ou quotient d'une exponentielle et d'un polynôme, c’est toujours l’exponentielle qui « l’emporte ».