« Fonction exponentielle/Croissances comparées » : différence entre les versions
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Puisque <math>C>0</math>, <math>\lim_{x\to+\infty}Cx=+\infty</math> donc par comparaison, <math>\lim_{x\to+\infty}\frac{\mathrm e^x}{x^n}=+\infty</math>. |
Puisque <math>C>0</math>, <math>\lim_{x\to+\infty}Cx=+\infty</math> donc par comparaison, <math>\lim_{x\to+\infty}\frac{\mathrm e^x}{x^n}=+\infty</math>. |
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(Pour le cas <math>n=1</math>, autre méthode est proposée [[../Exercices/Croissances comparées|en exercice]].) |
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Version du 27 mai 2017 à 19:25
Comparaison entre ex et x en + ∞
On a vu que la fonction est strictement croissante sur . On va montrer que quand tend vers , tend vers « très vite » : plus vite que , pour tout entier .
Pour formaliser cela, on étudie la limite , qui est une forme indéterminée .
Démonstration
Pour tout entier naturel et tout réel ,
donc donc .
Puisque , donc par comparaison, .
(Pour le cas , une autre méthode est proposée en exercice.)
Comparaison entre ex et x en - ∞
On en déduit la limite , qui est une forme indéterminée .
Démonstration
Qand , donc .
En résumé
Quand on a une forme indéterminée produit ou quotient d'une exponentielle et d'un polynôme, c’est toujours l’exponentielle qui « l’emporte ».