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Version du 27 mai 2017 à 11:12

**Croissances comparées**
Leçon : Fonction exponentielle

Chapitre n^o 5
Chap. préc. :	Étude de la fonction exponentielle
Chap. suiv. :	Dérivée de exp(u)
Exercices :	Croissances comparées

En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Fonction exponentielle : Croissances comparées
Fonction exponentielle/Croissances comparées », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Comparaison entre e^x et x en + ∞

On a vu que la fonction exp est strictement croissante sur $\mathbb {R}$ et tend vers $+\infty$ quand x tend vers $+\infty$ . On va montrer qu'elle croît « très vite » : plus vite que $x^{n}$ , pour tout entier $n$ .

Pour formaliser cela, on étudie la limite $\lim _{x\to +\infty }{\frac {\mathrm {e} ^{x}}{x^{n}}}$ , qui est une forme indéterminée ${\frac {\infty }{\infty }}$ .

Croissances comparées en

+\infty

\forall n\in \mathbb {N} \quad \lim _{x\to +\infty }{\frac {\mathrm {e} ^{x}}{x^{n}}}=+\infty

.

Démonstration

Pour tout entier naturel $n$ et tout réel $x>0$ ,

${\sqrt[{n+1}]{\mathrm {e} ^{x}}}=\mathrm {e} ^{\frac {x}{n+1}}\geq 1+{\frac {x}{n+1}}>{\frac {x}{n+1}}$ donc $\mathrm {e} ^{x}>\left({\frac {x}{n+1}}\right)^{n+1}=Cx^{n+1}$ donc ${\frac {\mathrm {e} ^{x}}{x^{n}}}>Cx$ .

Puisque $C>0$ , $\lim _{x\to +\infty }Cx=+\infty$ donc par comparaison, $\lim _{x\to +\infty }{\frac {\mathrm {e} ^{x}}{x^{n}}}=+\infty$ .

(Pour le cas $n=1$ , autre méthode est proposée en exercice.)

Comparaison entre e^x et x en - ∞

On a vu que la fonction exp est strictement croissante sur $\mathbb {R}$ et tend vers 0 quand x tend vers $-\infty$ , à la vitesse de la suite géométrique (e^-n).

Pour formaliser, on étudie la limite :

\lim _{x\to -\infty }xe^{x}

qui est une forme indéterminée $-\infty \times 0^{+}$

Théorème

$\lim _{x\to -\infty }xe^{x}=0$

Preuve: $\lim \limits _{x\to -\infty }xe^{x}=\lim \limits _{x\to -\infty }{\dfrac {x}{e^{-x}}}=-\lim \limits _{x\to -\infty }{\dfrac {-x}{e^{-x}}}$

En posant $t=-x$ , on a $-\lim \limits _{x\to -\infty }{\dfrac {-x}{e^{-x}}}=-\lim \limits _{t\to +\infty }{\dfrac {t}{e^{t}}}=-\lim \limits _{t\to +\infty }{\dfrac {1}{\dfrac {e^{t}}{t}}}=0$

Application

Déterminer les limites suivantes :

$\lim _{x\to +\infty }{\frac {\mathrm {e} ^{x}}{\sqrt {x}}}$

Solution

Quand $x\to +\infty$ , ${\frac {\mathrm {e} ^{x}}{\sqrt {x}}}={\frac {\mathrm {e} ^{x}}{x}}{\frac {x}{\sqrt {x}}}={\frac {\mathrm {e} ^{x}}{x}}{\sqrt {x}}\to +\infty \times +\infty =+\infty$ .

$\lim _{x\to +\infty }{\frac {\mathrm {e} ^{x}}{x^{2}+1}}$

Solution

Quand $x\to +\infty$ , ${\frac {\mathrm {e} ^{x}}{x^{2}+1}}={\frac {\mathrm {e} ^{x}}{x^{2}}}{\frac {x^{2}}{x^{2}+1}}={\frac {\mathrm {e} ^{x}}{x^{2}}}{\frac {1}{1+{\frac {1}{x^{2}}}}}\to +\infty \times {\frac {1}{1+0}}=+\infty$ .

$\lim _{x\to +\infty }{\frac {x}{e^{x}}}$

Solution

$\lim _{x\to +\infty }{\frac {e^{x}}{x}}=+\infty$
Donc $\lim _{x\to +\infty }{\frac {x}{e^{x}}}=0$

$\lim _{x\to +\infty }(e^{x}-x)$

Solution

Pour tout $x\in \mathbb {R} ,~e^{x}-x=e^{x}\left(1-{\frac {x}{e^{x}}}\right)$
Or, $\lim _{x\to +\infty }{\frac {x}{e^{x}}}=0$
De plus, $\lim _{x\to +\infty }e^{x}=+\infty$
Donc $\lim _{x\to +\infty }(e^{x}-x)=+\infty$

$\lim _{x\to +\infty }e^{-x}x^{3}$

Solution

Pour tout $x\in \mathbb {R} ,~{\sqrt[{3}]{e^{-x}x^{3}}}=x~e^{-{\frac {x}{3}}}=-3{\frac {-x}{3}}e^{-{\frac {x}{3}}}$ .

Pour tout $x\in \mathbb {R}$ , on pose $X=-{\frac {x}{3}}$
On a alors pour tout $x\in \mathbb {R} ,~{\sqrt[{3}]{e^{-x}x^{3}}}=-3Xe^{X}$ .
On sait que $\lim _{X\to -\infty }Xe^{X}=0$
Donc $\lim _{x\to +\infty }{\sqrt[{3}]{e^{-x}x^{3}}}=0$
De plus, $\lim _{t\to 0}t^{3}=0$
Donc $\lim _{x\to +\infty }e^{-x}x^{3}=0$

$\lim _{x\to +\infty }{\frac {x}{e^{(x^{2})}}}$

Solution

On pose $X=x^{2}$ .

Pour tout $x\in \mathbb {R} ,~{\frac {x}{e^{(x^{2})}}}={\frac {\sqrt {X}}{e^{X}}}$
On sait que $\lim _{x\to +\infty }{\frac {e^{x}}{\sqrt {x}}}=+\infty$
Donc $\lim _{x\to +\infty }{\frac {x}{e^{(x^{2})}}}=0$ .

$\lim _{x\to +\infty }{\frac {\sqrt {e^{x}}}{x}}$

Solution

Pour tout $x\in \mathbb {R} ,~{\frac {\sqrt {e^{x}}}{x}}={\sqrt {\frac {e^{x}}{x^{2}}}}$
On a $\lim _{x\to +\infty }{\frac {e^{x}}{x^{2}}}=+\infty$
De plus, $\lim _{X\to +\infty }{\sqrt {X}}=+\infty$
Donc $\lim _{x\to +\infty }{\frac {\sqrt {e^{x}}}{x}}=+\infty$

$\lim _{x\to -\infty }(x^{2}+1)e^{x}$

Solution

Pour tout $x\in \mathbb {R}$ , on pose $X=-x$ .

Soit $x\in \mathbb {R}$ .
On a

${\begin{aligned}(x^{2}+1)e^{x}&=((-X)^{2}+1)e^{-X}\\&={\frac {X^{2}+1}{e^{X}}}\\&={\frac {X^{2}\left({\frac {1}{X^{2}}}+1\right)}{e^{X}}}\end{aligned}}$

On sait que $\lim _{X\to +\infty }{\frac {X^{2}}{e^{X}}}=0$
et que $\lim _{X\to +\infty }{\frac {1}{X^{2}}}+1=1$
Donc $\lim _{x\to -\infty }(x^{2}+1)e^{x}=\lim _{X\to +\infty }{\frac {X^{2}+1}{e^{X}}}=0$

$\lim _{x\to +\infty }{\sqrt {e^{-x}}}x$

Solution

Pour tout $x\in \mathbb {R} ,~{\sqrt {e^{-x}}}x={\frac {x}{\sqrt {e^{x}}}}$
On a montré plus haut que $\lim _{x\to +\infty }{\frac {\sqrt {e^{x}}}{x}}=+\infty$
Donc $\lim _{x\to +\infty }{\sqrt {e^{-x}}}x=0$

Extension aux puissances de x

Pour tout entier naturel n non nul

$\lim _{x\to +\infty }{\frac {e^{x}}{x^{n}}}=+\infty$

Théorème

$\lim _{x\to -\infty }x^{n}.e^{x}=0$

En résumé

Quand on a une forme indéterminée impliquant une exponentielle et un polynôme, c’est toujours l’exponentielle qui « l’emporte ».

Fonction exponentielle

Étude de la fonction exponentielle

Dérivée de exp(u)

@@ Ligne 48 : / Ligne 48 : @@
 Déterminer les limites suivantes :
+* <math>\lim_{x\to+\infty}\frac{\mathrm e^x}{\sqrt x}</math>
+{{Solution|contenu=
+Quand <math>x\to+\infty</math>, <math>\frac{\mathrm e^x}{\sqrt x}=\frac{\mathrm e^x}x\frac x{\sqrt x}=\frac{\mathrm e^x}x\sqrt x\to+\infty\times+\infty=+\infty</math>.
+}}
+* <math>\lim_{x\to+\infty}\frac{\mathrm e^x}{x^2+1}</math>
+{{Solution|contenu=
+Quand <math>x\to+\infty</math>, <math>\frac{\mathrm e^x}{x^2+1}=\frac{\mathrm e^x}{x^2}\frac{x^2}{x^2+1}=\frac{\mathrm e^x}{x^2}\frac1{1+\frac1{x^2}}\to+\infty\times\frac1{1+0}=+\infty</math>.
+}}
 * <math>\lim_{x\to+\infty}\frac x{e^x}</math>
 {{Solution|contenu=
@@ Ligne 53 : / Ligne 61 : @@
 * Donc <math>\lim_{x\to+\infty}\frac x{e^x}=0</math>
 }}
 * <math>\lim_{x\to+\infty}(e^x-x)</math>
 {{Solution|contenu=
@@ Ligne 61 : / Ligne 68 : @@
 * Donc <math>\lim_{x\to+\infty}(e^x-x)=+\infty</math>
 }}
 * <math>\lim_{x\to+\infty}e^{-x}x^3</math>
 {{Solution|contenu=Pour tout <math>x\in\R,~\sqrt[3]{e^{-x}x^3}=x~e^{-\frac x3}=-3\frac {-x}3 e^{-\frac x3}</math>.
@@ Ligne 71 : / Ligne 77 : @@
 * Donc <math>\lim_{x\to+\infty}e^{-x}x^3=0</math>
 }}
 * <math>\lim_{x\to+\infty}\frac x{e^{(x^2)}}</math>
 {{Solution|contenu=On pose <math>X=x^2</math>.
@@ Ligne 78 : / Ligne 83 : @@
 * Donc <math>\lim_{x\to+\infty}\frac x{e^{(x^2)}}=0</math>.
 }}
 * <math>\lim_{x\to+\infty}\frac{\sqrt{e^x}}x</math>
 {{Solution|contenu=
@@ Ligne 86 : / Ligne 90 : @@
 * Donc <math>\lim_{x\to+\infty}\frac{\sqrt{e^x}}x=+\infty</math>
 }}
 * <math>\lim_{x\to-\infty}(x^2+1)e^x</math>
 {{Solution|contenu=Pour tout <math>x\in\R</math>, on pose <math>X=-x</math>.
@@ Ligne 100 : / Ligne 103 : @@
 * Donc <math>\lim_{x\to-\infty}(x^2+1)e^x=\lim_{X\to+\infty}\frac{X^2+1}{e^X}=0</math>
 }}
 * <math>\lim_{x\to+\infty}\sqrt{e^{-x}}x</math>
 {{Solution|contenu=
@@ Ligne 106 : / Ligne 108 : @@
 * On a montré plus haut que <math>\lim_{x\to+\infty}\frac{\sqrt{e^x}}x=+\infty</math>
 * Donc <math>\lim_{x\to+\infty}\sqrt{e^{-x}}x=0</math>
-}}
-{{Prérequis|idfaculté=mathématiques|sujet=la fonction logarithme|cours=Fonction logarithme}}
-* <math>\lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}{x^2+1}</math>
-{{Solution|contenu=Soit <math>x\in\R</math> :
-<math>\begin{align}
-\ln\left(\frac{e^x}{x^2+1}\right)&=x-\ln(x^2+1)\\
-&=x-\ln\left(x^2\left(1+\frac1{x^2}\right)\right)\\
-&=x-\ln(x^2)-\ln\left(1+\frac1{x^2}\right)\\
-&=x-2\ln(x)-\ln\left(1+\frac1{x^2}\right)\\
-\end{align}</math>
-* <math>\lim_{x\to+\infty}\ln\left(1+\frac1{x^2}\right)=0</math>
-* <math>\lim_{x\to+\infty}x-2\ln(x)=+\infty</math>
-* Donc <math>\lim_{x\to+\infty}\ln\left(\frac{e^x}{x^2+1}\right)=+\infty</math>
-* De plus, <math>\lim_{X\to+\infty}e^X=+\infty</math>
-* Donc <math>\lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}{x^2+1}=+\infty</math>
-}}
-* <math>\lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}{\sqrt x}</math>
-{{Solution|contenu=Soit <math>x\in[0;+\infty[</math> :
-<math>\begin{align}
-\ln\left(\frac{e^x}{\sqrt x}\right)&=x-\ln(\sqrt x)\\
-&=x-\frac12\ln(x)\\
-\end{align}</math>
-* <math>\lim_{x\to+\infty}x-\frac12\ln(x)=+\infty</math>
-* Donc <math>\lim_{x\to+\infty}\ln\left(\frac{e^x}{\sqrt x}\right)=+\infty</math>
-* De plus, <math>\lim_{X\to+\infty}e^X=+\infty</math>
-* Donc <math>\lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}{\sqrt x}=+\infty</math>
 }}

Version du 27 mai 2017 à 11:12

Comparaison entre ex et x en + ∞

Comparaison entre ex et x en - ∞

Application

Extension aux puissances de x

En résumé

Comparaison entre e^x et x en + ∞

Comparaison entre e^x et x en - ∞