« Topologie générale/Continuité et homéomorphismes » : différence entre les versions

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{{Wikipédia|Continuité (mathématiques)|Continuité}}
{{clr}}
Au lycée, on dit d'une fonction qu'elle est continue si on peut la tracer sans lever le crayon. Mais considérons une courbe de longueur infinie : impossible de la tracer avec un crayon ! <br />
La notion de continuité s'est clarifiée au {{s|19}}, grâce notamment aux travaux de [[w:Augustin Louis Cauchy|Cauchy]].
 
==Limite==
== Approche intuitive et historique ==
{{Définition|contenu=
{{Wikipédia|Limite (mathématiques)|Limite}}
Soient <math>X</math> et <math>Y</math> deux espaces topologiques, <math>A</math> une partie de <math>X</math>, <math>f:A\to Y</math> une application, <math>a</math> un point adhérent à <math>A</math> et <math>\ell</math> un point de <math>Y</math>.
 
On dit que <math>f</math> esta continuepour limite <math>\ell</math> au point <math>a</math> si, l'imagepour réciproquetout parvoisinage <math>fV</math> de tout voisinage de <math>f(a)\ell</math>, estil existe un voisinage <math>W</math> de <math>a</math> :tel que <math>f(W\cap A)\subset V</math>.
}}
 
{{Proposition|contenu=
Au lycée, on dit d'une fonction qu'elle est continue si on peut la tracer sans lever le crayon. Mais considérons une courbe de longueur infinie : impossible de la tracer avec un crayon ! <br />
Sous les hypothèses de la définition :
La notion de continuité s'est clarifiée au {{s|19}}, grâce notamment aux travaux de Cauchy.
*<math>\ell</math> est nécessairement adhérent à <math>f(A)</math> ;
*si <math>Y</math> est séparé et si une telle limite existe alors elle est unique, ce qui rend alors légitime la notation <math>\lim_af=\ell</math>.
}}
 
{{Démonstration déroulante|contenu=
== Définition de la continuité ==
Pour tout voisinage <math>W</math> de <math>a</math>, <math>f(W\cap A)</math> est inclus dans <math>f(A)</math> et (puisque <math>a\in\overline A</math>) non vide, donc :
*pour tout voisinage <math>V</math> de <math>\ell</math>, <math>V\cap f(A)</math> est non vide ;
*pour tous voisinages <math>V_1</math> et <math>V_2</math> de deux limites, <math>V_1\cap V_2</math> est non vide car il contient un <math>f(W\cap A)</math> avec <math>W=W_1\cap W_2</math> (intersection de deux) voisinage(s) de <math>a</math>.
}}
 
==Continuité en un point==
{{Définition
{{Définition|contenu=
| titre = continuité en un point
| contenu = Soient <math>(E,\mathcal{T})X</math> et <math>(F, \mathcal{T'})Y</math> deux espaces topologiques, <math>f:X\to Y</math> une application et <math>a</math> un point de <math>EX</math>. dansOn dit que <math>Ff</math> etest continue au point <math>a</math> unsi point<math>f</math> dea pour limite <math>Ef(a)</math> au point <math>a</math>.
}}
 
{{Proposition|contenu=
On dit que <math>f</math> est continue au point <math>a</math> si l'image réciproque par <math>f</math> de tout voisinage de <math>f(a)</math> est un voisinage de <math>a</math> :
<math>f</math> est continue enau point <math> a </math> si pouret touteseulement suitesi <math> a_n </math>l'image convergeantréciproque verspar <math> a f</math>, lade suitetout voisinage de <math> f(a_na) </math> convergeest versun voisinage de <math> f(a) </math>. :
 
<math>\forall V\in \mathcal{V}(f(a))\quad f^{-1}(V)\in\mathcal{V}(a)</math>.
}}
 
==Continuité globale==
Cette définition s'applique en particulier au cas où <math>(E,\mathcal{T})</math> est un sous-espace (muni de la topologie induite) d'un espace topologique plus vaste.
Soient <math>X</math> et <math>Y</math> deux espaces topologiques et <math>f:X\to Y</math> une application.
{{Définition|contenu=
On dit que <math>f</math> est
*continue (sur <math>X</math>) si elle est continue en tout point de <math>X</math> ;
*un homéomorphisme lorsqu'elle est bijective et que <math>f</math> et <math>f^{-1}</math> sont continues.
}}
 
{{Proposition|contenu=
Les propriétés suivantes sont équivalentes :
#l'application <math>f</math> est continue ;
#l'image réciproque par <math>f</math> de tout ouvert de <math>Y</math> est un ouvert de <math>X</math> ;
#l'image réciproque par <math>f</math> de tout fermé de <math>Y</math> est un fermé de <math>X</math> ;
#pour toute partie <math>A</math> de <math>X</math>, <math>f(\overline A)\subset\overline{f(A)}</math> ;
#pour toute partie <math>B</math> de <math>Y</math>, <math>\overline{f^{-1}(B)}\subset f^{-1}(\overline B)</math>.
}}
 
{{Démonstration déroulante|contenu=
*1 ⇔ 2 : d'après la définition locale, ''f'' est continue en ''a'' si et seulement si, pour tout ouvert ''O'' de ''Y'' tel que ''a'' appartienne à ''f''<sup>–1</sup>(''O''), ''f''<sup>–1</sup>(''O'') est voisinage de ''a''. Donc ''f'' est continue en tout point si et seulement si, pour tout ouvert ''O'' de ''Y'', ''f''<sup>–1</sup>(''O'') est voisinage de chacun de ses points, c'est-à-dire est ouvert.
*2 ⇔ 3 : par passage aux complémentaires.
*3 ⇒ 5 : en posant ''G = {{surligner|B}}''.
*5 ⇒ 4 : en posant ''B = f''(''A'') et en utilisant le fait que ''A'' est inclus dans ''f ''<sup>–1</sup>(''f''(''A'')).
*4 ⇒ 3 : en posant ''A = f ''<sup>–1</sup>(''G'') et en utilisant le fait que ''f''(''f ''<sup>–1</sup>(''G'')) est inclus dans ''G''.
}}
 
== Caractérisation séquentielle ==
{{Wikipédia|Espace à bases dénombrables de voisinages}}
Si <math>E</math> est un [[Topologie générale/Espace métrique|espace métrique]], on dispose d'une propriété équivalente à la définition de la continuité, et qui est bien plus facile à mettre en œuvre lors des exercices :
Si tout point de <math>X</math> admet une [[../Bases#Base de voisinages|base de voisinages]] (finie ou) dénombrable — ''en particulier si <math>X</math> est un [[Topologie générale/Espace métrique|espace métrique]]'' — on dispose d'une caractérisation plus intuitive :
 
{{Proposition|contenu=
<math>f</math> est continue en <math> a </math> si pour toute suite <math> a_n </math> convergeant vers <math> a </math>, la suite <math> f(a_n) </math> converge vers <math> f(a) </math>.
Si tout point de <math>X</math> admet une base dénombrable de voisinages, alors, pour tout point <math>a</math> et toute partie <math>A</math> de <math>X</math> :
#<math>a</math> est adhérent à <math>A</math> (si et) seulement s'il est limite d'une suite d'éléments de <math>A</math> ;
#si <math>a</math> est adhérent à <math>A</math>, une application <math>f:A\to Y</math> a pour limite <math>\ell</math> au point <math>a</math> si (et seulement si) pour toute suite <math>(a_n)</math> dans <math>A</math> de limite <math>a</math>, la suite <math>(f(a_n))</math> a pour limite <math>\ell</math>.
#par conséquent, une application <math>f:X\to Y</math> est continue au point <math>a</math> si (et seulement si) pour toute suite <math>(a_n)</math> de limite <math>a</math>, la suite <math>(f(a_n))</math> a pour limite <math>f(a)</math>.
}}
 
{{Démonstration déroulante|contenu=
Soit <math>(V_n)_{n\in\N}</math> une base de voisinages de <math>a</math>, que l'on peut supposer décroissante (quitte à remplacer chaque <math>V_n</math> par son intersection avec les <math>V_m</math> précédents). Le principe est que toute suite <math>(a_n)</math> telle que <math>\forall n\in\N\quad a_n\in V_n</math> converge alors vers <math>a</math>.
#Si <math>a</math> est adhérent à <math>A</math>, comme chaque <math>V_n</math> rencontre <math>A</math>, on peut choisir a<math>_n\in V_n\cap A</math>.
#Raisonnons par contraposition. Si <math>\ell</math> n'est pas limite de <math>f</math> en <math>a</math>, il existe un voisinage <math>V</math> de <math>\ell</math> dont l'image réciproque ne contient aucun <math>V_n\cap A</math>. En choisissant dans chaque <math>V_n\cap A</math> un <math>a_n</math> tel que <math>f(a_n)\notin V</math>, on construit une suite de limite <math>a</math> dont l'image n'admet pas <math>\ell</math> pour limite.
}}
 
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