Topologie générale/Continuité et homéomorphismes

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Approche intuitive et historique

Au lycée, on dit d'une fonction qu'elle est continue si on peut la tracer sans lever le crayon. Mais considérons une courbe de longueur infinie : impossible de la tracer avec un crayon !
La notion de continuité s'est clarifiée au XIX^e siècle, grâce notamment aux travaux de Cauchy.

Définition de la continuité

continuité en un point

Soient $(E,{\mathcal {T}})$ et $(F,{\mathcal {T'}})$ deux espaces topologiques, $f$ une application de $E$ dans $F$ et $a$ un point de $E$.

On dit que $f$ est continue au point $a$ si l'image réciproque par $f$ de tout voisinage de $f(a)$ est un voisinage de $a$ :

$\forall V\in {\mathcal {V}}(f(a))\quad f^{-1}(V)\in {\mathcal {V}}(a)$.

Cette définition s'applique en particulier au cas où $(E,{\mathcal {T}})$ est un sous-espace (muni de la topologie induite) d'un espace topologique plus vaste.

Caractérisation séquentielle

Si $E$ est un espace métrique, on dispose d'une propriété équivalente à la définition de la continuité, et qui est bien plus facile à mettre en œuvre lors des exercices :

$f$ est continue en $a$ si pour toute suite $a_{n}$ convergeant vers $a$, la suite $f(a_{n})$ converge vers $f(a)$.