Espaces vectoriels normés/Espaces de Banach - Complétude

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Dans toute la suite, $(E,\|.\|)$ est un espace vectoriel normé (evn).

Définitions

La notion générale de suite de Cauchy dans à valeurs dans un espace métrique se particularise à un evn E, avec la définition suivante :

Définition : Suite de Cauchy

Une suite $(u_{n})$ d'éléments de E est dite de Cauchy si :

$\forall \varepsilon >0\quad \exists n\in \mathbb {N} \quad \forall p,q\in \mathbb {N} \quad p,q\geq n\Rightarrow \|u_{q}-u_{p}\|<\varepsilon$.

Voici une propriété vraie dans tout espace métrique et qu'on démontre comme dans $\mathbb {R}$ :

Propriété

Toute suite convergente est de Cauchy.

Définition : Espace de Banach

• Un evn est E dit complet si, dans E, toute suite de Cauchy est convergente.
• On appelle espace de Banach tout espace vectoriel normé complet.

Pour toute série convergente à valeurs dans un evn, on a une majoration de la norme de la somme (par passage à la limite dans la majoration évidente des normes des sommes partielles) :

$\left\|\sum _{n=0}^{+\infty }x_{n}\right\|\leq \sum _{n=0}^{+\infty }\|x_{n}\|$,

mais ce majorant peut être $+\infty$.

Une série à valeurs dans un evn E est dite « absolument convergente » si elle vérifie : $\sum \|x_{n}\|<+\infty$.

Cette appellation est trompeuse car — contrairement au cas où E est de dimension finie — si E est un evn quelconque, une telle série ne converge pas nécessairement dans E ; l'implication qu'elle sous-entend est en fait une caractérisation des espaces de Banach :

Caractérisation

Un evn E est complet si et seulement si, dans E, toute série absolument convergente est convergente.

Démonstration

• Supposons que E est complet. Soit, dans E, une série absolument convergente, de terme général $x_{n}$. Alors, la suite de ses sommes partielles $S_{n}:=\sum _{k=0}^{n}x_{k}$ est de Cauchy, car pour $q>p\geq n$, $\left\|S_{q}-S_{p}\right\|=\left\|\sum _{k=p+1}^{q}x_{k}\right\|\leq \sum _{k=p+1}^{q}\left\|x_{k}\right\|\leq \sum _{k=n+1}^{\infty }\left\|x_{k}\right\|\to 0$ quand $n\to \infty$. Par conséquent, E étant complet, la suite $(S_{n})$ — et donc la série de terme général $x_{n}$ — est convergente.
• Réciproquement, supposons que dans E, toute série absolument convergente est convergente et considérons une suite de Cauchy $(x_{n})$. Elle admet alors une sous-suite $(s_{n})$ telle que $\left\|s_{n+1}-s_{n}\right\|\leq 2^{-n}$. La série de terme général $s_{n+1}-s_{n}$ est absolument convergente donc (par hypothèse sur E) convergente, autrement dit la sous-suite $(s_{n})$ converge, donc la suite de Cauchy $(x_{n})$ aussi, ce qui prouve que E est complet.
  Ou encore (par contraposition) : si E n'est pas complet, soient $S$ un vecteur qui n'appartient pas à E mais seulement à son complété et $(S_{n})$ une suite dans E telle que $\left\|S-S_{n}\right\|\leq 2^{-n}$, alors la série de terme général $S_{n+1}-S_{n}$ est absolument convergente, mais sa somme dans le complété, $S-S_{0}$, n'appartient pas à E.

 

Théorèmes

Dans tout ce paragraphe, $(E,\|.\|)$ est un espace de Banach (parfois appelé "Banach").

Début d’un théorème

Théorème des fermés emboîtés

Soit $(F_{n})$ une suite de fermés de $E$ .
Si :

• $\forall n\in \mathbb {N} ,\;F_{n+1}\subset F_{n}\mathrm {\;et\;} F_{n}\neq \varnothing$
• $\lim _{n\to +\infty }\left(\sup _{x,y\in F_{n}}\|x-y\|\right)=0$

alors

$\exists !x\in E\;|\;\bigcap _{n\in \mathbb {N} }F_{n}=\{x\}$

Fin du théorème

(démonstration à faire)

Début d’un théorème

Théorème : Critère de Cauchy pour les fonctions

Soient $E$ et $F$ deux Banach, $f:A\subset E\to F$ et $a\in {\bar {A}}$.
$\lim _{x\to a}f(x)$ existe dans $F$ si, et seulement si :

$\forall \varepsilon >0,\;\exists \delta _{\varepsilon }>0|\forall x,y\in A,\|x-y\|<\delta _{\varepsilon }\Rightarrow \|f(x)-f(y)\|<\varepsilon$

Fin du théorème

(démonstration à faire)

Début d’un théorème

Théorème du point fixe de Banach

Soient $E$ un Banach et $f:E\to E$ une application $k$-contractante$\,^{(1)}$ .
Alors :

• la fonction $f$ admet un unique point fixe $\ell$ sur $E$ (c'est-à-dire $\exists !\ell \in E\;|\;f(\ell )=\ell$ )
• $\ell$ est la limite de toute suite $(u_{n})$ de $E$ définie par $u_{0}\in E$ et $u_{n+1}=f(u_{n})$ .

$(1)$ c'est-à-dire $k$-lipschitzienne avec $|k|<1$.

Fin du théorème

Démonstration

• Existence du point fixe :Puisque $f$ est $k$-contractante, on a donc :

$\|u_{n+1}-u_{n}\|=\|f(u_{n})-f(u_{n-1})\|\leq k\|u_{n}-u_{n-1}\|$ . On en déduit par une récurrence facile que :

$\|u_{n+1}-u_{n}\|\leq k^{n}\|u_{1}-u_{0}\|$

puis que :
$\forall (n,p)\in \mathbb {N} ^{2}$
${\begin{aligned}\|u_{n+p}-u_{n}\|&\leq \|u_{n+p}-u_{n+p-1}\|+\ldots +\|u_{n+1}-u_{n}\|\\&\leq \left(k^{n+p-1}+\ldots +k^{n}\right)\|u_{1}-u_{0}\|\\&\leq k^{n}{\frac {1-k^{p}}{1-k}}\|u_{1}-u_{0}\|\\&\leq {\frac {k^{n}}{1-k}}\|u_{1}-u_{0}\|{\xrightarrow[{n\to +\infty }]{}}0\end{aligned}}$
donc $(u_{n})$ est de Cauchy et converge vers $\ell \in E$ . En passant à la limite dans $u_{n+1}=f(u_{n})$ , on obtient bien que $f(\ell )=\ell$ et que $\ell$ est un point fixe de $f$ .

• Unicité du point fixe : Supposons que $x$ et $y$ soient deux points fixes de $f$. Alors :

$\|f(x)-f(y)\|\leq k\|x-y\|<\|x-y\|$ (car $k<1$) , ce qui est absurde sauf si $x=y$.