« Topologie générale/Continuité et homéomorphismes » : différence entre les versions

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Version du 28 février 2017 à 08:12

**Continuité et homéomorphismes**
Leçon : Topologie générale

Chapitre n^o 8
Chap. préc. :	Suites
Chap. suiv. :	Axiomes de séparation

En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Topologie générale : Continuité et homéomorphismes
Topologie générale/Continuité et homéomorphismes », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Approche intuitive et historique

Au lycée, on dit d'une fonction qu'elle est continue si on peut la tracer sans lever le crayon. Mais considérons une courbe de longueur infinie : impossible de la tracer avec un crayon !
La notion de continuité s'est clarifiée au XIX^e siècle, grâce notamment aux travaux de Cauchy.

Définition de la continuité

continuité en un point

Soient $(E,{\mathcal {T}})$ et $(F,{\mathcal {T'}})$ deux espaces topologiques et $f$ une application continue de $E$ dans $F$ . Soit $A$ une partie de $E$ et $a\in E$ .
On dit que $f$ est continue au point $a$ suivant $A$ si :
$\forall V\in {\mathcal {V}}(f(a)),\exists U\in {\mathcal {V}}(a){\text{ tq }}f(U\cap A)\subset V$

Caractérisation séquentielle

Si $E$ est un espace métrique, on dispose d'une propriété équivalente à la définition de la continuité, et qui est bien plus facile à mettre en œuvre lors des exercices :

$f$ est continue en $a$ si pour toute suite $a_{n}$ convergeant vers $a$ , la suite $f(a_{n})$ converge vers $f(a)$ .

Topologie générale

Suites

Axiomes de séparation

@@ Ligne 23 : / Ligne 23 : @@
 == Caractérisation séquentielle ==
+Si <math>E</math> est un [[Topologie générale/Espace métrique|espace métrique]], on dispose d'une propriété équivalente à la définition de la continuité, et qui est bien plus facile à mettre en œuvre lors des exercices :
+<math>f</math> est continue en <math> a </math> si pour toute suite <math> a_n </math> convergeant vers <math> a </math>, la suite <math> f(a_n) </math> converge vers <math> f(a) </math>.
-Si on admet l'axiome de choix, on dispose d'une propriété équivalente à la définition de la continuité, et qui est bien plus facile à mettre en œuvre lors des exercices :
-f est continue en <math> a </math> si pour toute suite <math> a_n </math> convergeant vers <math> a </math>, la suite <math> f(a_n) </math> converge vers <math> f(a) </math>.
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