Espace préhilbertien réel/Exercices/Produit scalaire

Exercice 1

Soit $n$ un entier supérieur ou égal à $2$. Démontrer que pour tous réels $x_{1},\dots ,x_{n}$, on a :

$\sum _{1\leq i<j\leq n}x_{i}x_{j}\leq {\frac {n-1}{2}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}$.

Solution

En multipliant les deux membres par $2$ puis en leur ajoutant $\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}$, l'inégalité à démontrer est :

$2\sum _{1\leq i<j\leq n}x_{i}x_{j}+\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}\leq n\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}$,

ou encore :

$\left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}\right)^{2}\leq n\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}$.

C'est le cas particulier de l'inégalité de Cauchy-Schwarz correspondant aux vecteurs $(x_{1},\dots ,x_{n})$ et $(1,\dots ,1)$ de $\mathbb {R} ^{n}$.

Par exemple, pour $n=3$, on obtient :

$\forall (a,b,c)\in \mathbb {R} ^{3}\qquad ab+ac+bc\leq a^{2}+b^{2}+c^{2}$.