« Solide de Platon » : différence entre les versions

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title=" Que signifie « dual » ? ">Étant donné un solide de Platon de ''p'' sommets et ''q''&nbsp;faces,</span> son&nbsp;'''dual''' est un solide de&nbsp;Platon qui a le même nombre d’arêtes, ''q''&nbsp;sommets et&nbsp;''p''&nbsp;faces. Quand on dit que cube et octaèdre sont duaux l’un de l’autre par exemple, ou quand on parle «&nbsp;du&nbsp;» dual de l’un ou&nbsp;l’autre avec un article&nbsp;défini, alors on désigne par «&nbsp;cube&nbsp;» ou par «&nbsp;octaèdre&nbsp;» le nombre infini des polyèdres réguliers convexes, tous semblables entre eux, qui ont huit sommets dans un&nbsp;cas, huit faces dans l’autre&nbsp;cas.
 
En prenant l’expression "solide de Platon" dans cette acception, c’est-à-dire en considérant un solide à une similitude près, voici une <span id="dual_def">autre définition de la dualité de ces solides&nbsp;: deux&nbsp;solides</span> sont duaux l’un de l’autre quand ils peuvent partager les milieux de&nbsp;toutes leurs&nbsp;arêtes. Quand un cube et un octaèdre partagentont en commun les milieux de&nbsp;leurs douze&nbsp;arêtes, leur&nbsp;intersection peut aussi bien s’appeler un [[Cube tronquéCuboctaèdre|cube&nbsp;tronqué]] aussi bien qu’un octaèdre&nbsp;tronqué. Une&nbsp;façon de construire le dual d’un solide donné est de le tronquer à chaque sommet, par une section qui passe par les milieux des arêtes issues du sommet&nbsp;tronqué, puis de prolonger par des plans les faces du solide tronqué qui sont semblables à&nbsp;celles du solide&nbsp;voulu.
 
À partir d’un octaèdre régulier, comment obtenir un dual {{nobr|de même centre ? }} L’épure 4 montre une construction possible. On peut aussi construire les faces d’un dual, au lieu de construire ses sommets. Les plans des faces carrées de cet autre cube sont perpendiculaires en leurs extrémités aux diagonales de l’octaèdre. Les arêtes de ce cube-là sont égales aux diagonales de l’octaèdre. Les sommets de l’octaèdre initial sont alors les centres des six carrés construits. Le cube et l’octaèdre duaux l’un de l’autre sont ainsi disposés dans la prochaine rubrique, [[#i_8|épure 8.]]
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