« Solide de Platon » : différence entre les versions

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</div>
 
== Propriétés combinatoires ==
== Description et sections classiques ==
 
Un polyèdre convexe est un solide de Platon si et seulement si
#Toutes ses faces sont des [[polygone régulier|polygones réguliers]] convexes [[Isométrie|isométriques]], c'est-à-dire superposables,
#Aucune de ses faces ne se coupe, excepté sur les arêtes
#Le même nombre de faces se rencontrent à chacun de ses [[sommet (géométrie)|sommets]].
Chaque solide de Platon peut par conséquent être noté par un symbole {''p'', ''q''} où
:''p'' = le nombre de côtés de chaque face (ou le nombre de sommets sur chaque face) et
:''q'' = le nombre de faces se rencontrant à chaque sommet (ou le nombre d'arêtes se rencontrant à chaque sommet).
Le symbole {''p'', ''q''}, appelé le [[symbole de Schläfli]], donne une description [[combinatoire]] du polyèdre. Les symboles de Schläfli des cinq solides de Platon sont donnés dans la table ci-dessous.
 
{| border="1" cellpadding="7" style="margin:1em auto; text-align:center; border-collapse: collapse;"
|-
!colspan=2 | Polyèdre
!Sommets
!Arêtes
!Faces
![[Symbole de Schläfli]]
!{{Lien|trad=Vertex configuration|Configuration de sommet|texte=Configuration<br />de sommet}}
|-
|[[Tétraèdre]]
|[[Image:Tetrahedron.svg|50px|Tétraèdre]]
|4||6||4||{3, 3}||3.3.3
|-
|[[Cube|Hexaèdre]]
|[[Image:Hexahedron.svg|50px|Hexaèdre (cube)]]
|8||12||6||{4, 3}||4.4.4
|-
|[[Octaèdre]]
|[[Image:Octahedron.svg|50px|Octaèdre]]
|6||12||8||{3, 4}||3.3.3.3
|-
|[[Dodécaèdre régulier|Dodécaèdre]]
| [[Image:POV-Ray-Dodecahedron.svg|50px|Dodécaèdre]]
|20||30||12||{5, 3}||5.5.5
|-
|[[Icosaèdre]]
| [[Image:Icosahedron.svg|50px|Icosaèdre]]
|12||30||20||{3, 5}||3.3.3.3.3
|}
 
Toutes les autres informations combinatoires à propos de ces solides, telles que le nombre total de sommets (''S''), des arêtes (''A'') et des faces (''F'') peuvent être déterminées à partir de ''p'' et ''q''. Puisque toute arête joint deux sommets et possède deux faces adjacentes, nous devons avoir :
:<math>pF = 2A = qS.\,</math>
L'autre relation entre ces valeurs est donnée par la [[caractéristique d'Euler|formule d'Euler]] :
:<math>S - A + F = 2.\,</math>
Ce fait non-trivial peut être démontré d'une grande variété de manières (en [[topologie algébrique]] il découle de ce fait que la caractéristique d'Euler de la [[sphère]] est 2). Mises ensemble, ces trois relations déterminent complètement ''S'', ''A'' et ''F'' :
:<math>S = \frac{4p}{4 - (p-2)(q-2)},\quad A = \frac{2pq}{4 - (p-2)(q-2)},\quad F = \frac{4q}{4 - (p-2)(q-2)}.</math>
Note : échanger ''p'' et ''q'' intervertit ''F'' et ''S'' laissant ''A'' inchangé (pour une interprétation géométrique de ce fait, voir la section sur les polyèdres duaux ci-dessous).
 
== Classification ==
 
C'est un résultat classique qu'il existe seulement cinq polyèdres réguliers convexes. Deux arguments communs sont donnés ci-dessous. Les deux montrent seulement qu'il ne peut pas y avoir plus de cinq solides de Platon. Que chacun des cinq existe réellement est une question séparée — à laquelle on peut répondre par une construction explicite.
 
=== Démonstration géométrique ===
 
L'argument géométrique suivant est très similaire à celui donné par Euclide dans les ''Éléments'' :
#Chaque sommet du solide doit coïncider avec un sommet sur au moins trois faces, sinon ce n'est qu'un point de côté et non un sommet.
#À chaque sommet du solide, le total des angles entre les côtés adjacents relatifs aux faces adjacentes, doit être strictement inférieur à {{unité|360|°}} (sinon, le solide ne peut pas être convexe).
#Les angles de tous les sommets de toutes les faces d'un solide de Platon sont identiques, donc chaque sommet de chaque face doit contribuer pour strictement moins de {{unité|360|°}}/3={{unité|120|°}}.
#Les polygones réguliers de six côtés ou plus ont seulement des angles de {{unité|120|°}} ou plus, donc la face commune doit être le triangle, le carré ou le pentagone. Et pour :
#*les faces [[Triangle|triangulaires]] : chaque sommet d'un triangle régulier a un angle de {{unité|60|°}}, donc une forme doit avoir 3, 4 ou 5 triangles se rencontrant à un sommet ; celles-ci sont le tétraèdre, l'octaèdre et l'icosaèdre respectivement.
#*les faces [[carré]]es : chaque sommet d'un carré a un angle de {{unité|90|°}}, donc il existe seulement un arrangement possible avec trois faces à un sommet, le cube.
#*les faces [[Pentagone (figure)|pentagonales]] : chaque sommet a un angle de {{unité|108|°}} ; de nouveau, seulement un arrangement, de trois faces à un sommet est possible, le dodécaèdre.
 
=== Démonstration topologique ===
 
Une démonstration purement [[topologie|topologique]] peut être donnée en utilisant seulement les informations combinatoires sur les solides. La clé est l'[[caractéristique d'Euler|observation d'Euler]] que <math>S - A + F = 2</math>, et le fait que <math>pF = 2A = qS</math>. En combinant ces équations, on obtient l'équation
:<math>\frac{2A}{q} - A + \frac{2A}{p} = 2.</math>
En divisant par <math>2 A</math> il vient
:<math>{1 \over q} + {1 \over p}= {1 \over 2} + {1 \over A}.</math>
Puisque <math>A</math> est strictement positif, nous devons avoir
:<math>\frac{1}{q} + \frac{1}{p} > \frac{1}{2}.</math>
En utilisant le fait que ''p'' et ''q'' doivent, tous deux, être au moins égaux à 3, on peut facilement voir qu'il existe seulement cinq possibilités pour {''p'', ''q''} :
:<math>\{3, 3\},\quad \{4, 3\},\quad \{3, 4\},\quad \{5, 3\},\quad \{3,5\}.</math>
 
== Propriétés géométriques ==
=== Angles ===
 
Il existe un nombre d'[[angle]]s associés avec chaque solide de Platon. L'[[angle dièdre]] est l'angle interne entre deux faces planes quelconques. L'angle dièdre, θ, du solide {''p'', ''q''} est donné par la formule
:<math>\sin{\theta\over 2} = \frac{\cos(\pi/q)}{\sin(\pi/p)}.</math>
Ceci est quelquefois exprimé de manière plus pratique en termes de [[Fonction trigonométrique|tangente]] par
:<math>\tan{\theta\over 2} = \frac{\cos(\pi/q)}{\sin(\pi/h)}.</math>
La quantité ''h'' est 4, 6, 6, 10 et 10 pour le tétraèdre, le cube, l'octaèdre, le dodécaèdre et l'icosaèdre respectivement,
autrement dit <math>4h = 15+[2(p+q)-11]^2</math>.
 
Le {{Lien|trad=Defect (geometry)|défaut angulaire}} au sommet d'un polyèdre est la différence entre la somme des angles d'une face et 2π. Le défaut, δ, à un sommet quelconque des sommets de Platons {''p'', ''q''} est
:<math>\delta = 2\pi - q\pi\left(1-{2\over p}\right).</math>
Par le [[théorème de Descartes]], ceci est égal à 4π divisé par le nombre de sommets (i.e. le défaut total de tous les sommets est 4π).
 
L'analogue tridimensionnel d'un angle plan est un [[angle solide]]. L'angle solide, Ω, au sommet d'un solide de Platon est donné en termes d'angle dièdre par
:<math>\Omega = q\theta - (q-2)\pi.\,</math>
Ceci provient de la formule de l'{{Lien|trad=Angle excess|Excès angulaire|texte=excès sphérique}} pour un [[Trigonométrie sphérique|polygone sphérique]] et le fait que la [[figure de sommet]] du polyèdre {''p'', ''q''} est un ''q''-gone régulier.
 
Les divers angles associés avec les solides de Platon sont donnés ci-dessous. Les valeurs numériques des angles solides sont données en [[stéradian]]s. La constante <math>\varphi = \frac{(1+\sqrt{5})}{2}\,</math> est le [[nombre d'or]].
 
{| border=1 cellpadding=6 style="border-collapse: collapse; margin: 1em auto; text-align: center;"
|-
!Polyèdre
![[Angle dièdre]]<br /><math>(\theta)\,</math>
!<math>\tan\frac{\theta}{2}</math>
!{{Lien|trad=Defect (geometry)|défaut angulaire}} <math>(\delta)\,</math>
!colspan = 3|[[Angle solide]] <math>(\Omega)\,</math>
|-
|[[Tétraèdre]] || {{unité|70.53|°}} || <math>1\over{\sqrt 2}</math> || <math>\pi\,</math>
|<math>2\tan^{-1}\left(\frac{\sqrt 2}{5}\right)</math>
|<math>\approx 0,551286</math>
|-
|[[Cube]] || {{unité|90|°}} || <math>1\,</math> || <math>\pi\over 2</math>
|<math>\frac{\pi}{2}</math>
|<math>\approx 1,57080</math>
|-
|[[Octaèdre]] || {{unité|109.47|°}} || <math>\sqrt 2</math> || <math>{2\pi}\over 3</math>
|<math>4\sin^{-1}\left({1\over 3}\right)</math>
|<math>\approx 1,35935</math>
|-
|[[Dodécaèdre régulier|Dodécaèdre]] || {{unité|116.56|°}} || <math>\varphi\,</math> || <math>\pi\over 5</math>
|<math>2\tan^{-1}\varphi^5</math>
|<math>\approx 2,96174</math>
|-
|[[Icosaèdre]] || {{unité|138.19|°}} || <math>\varphi^2\,</math> || <math>\pi\over 3</math>
|<math>2\pi - 5\sin^{-1}\left({2\over 3}\right)</math>
|<math>\approx 2,63455</math>
|}
 
=== Rayons, aires et volumes ===
 
Une autre vertu de la régularité est que les solides de Platon possèdent tous trois sphères concentriques :
* la {{Lien|trad=Circumscribed sphere|sphère circonscrite}} qui passe à travers tous les sommets,
* la {{Lien|trad=Midsphere|sphère moyenne}} qui est tangente à chaque arête au milieu de celle-ci et
* la {{Lien|trad=Inscribed sphere|sphère inscrite}} qui est tangente à chaque face au centre de celle-ci.
 
Les [[rayon (géométrie)|rayons]] de ces sphères sont appelés les ''rayons circonscrits'', les ''rayons moyens'' et les ''rayons internes''. Ceux-ci sont les distances à partir du centre du polyèdre aux sommets, aux milieux des arêtes et aux centres de faces respectivement. Le rayon circonscrit ''R'' et le rayon interne ''r'' du solide {''p'', ''q''} avec une longueur d'arête ''a'' sont donnés par
:<math>R = \left({a\over 2}\right)\tan\frac{\pi}{q}\tan\frac{\theta}{2}</math>
:<math>r = \left({a\over 2}\right)\cot\frac{\pi}{p}\tan\frac{\theta}{2}</math>
où θ est l'angle dièdre. Le rayon moyen ρ est donné par
:<math>\rho = \left({a\over 2}\right)\frac{\cos(\pi/p)}{\sin(\pi/h)}</math>
où ''h'' est la quantité utilisée ci-dessus dans la définition de l'angle dièdre (''h'' = 4, 6, 6, 10 ou 10). Noter que le rapport du rayon circonscrit au rayons interne est symétrique dans ''p'' et ''q'' :
:<math>{R\over r} = \tan\frac{\pi}{p}\tan\frac{\pi}{q}.</math>
 
La [[superficie]] ''A'' d'un solide de Platon {''p'', ''q''} est facilement calculée, c'est l'aire d'un ''p''-gone régulier fois le nombre de faces ''F''. C’est-à-dire :
:<math>A = \left({a\over 2}\right)^2 Fp\cot\frac{\pi}{p}.</math>
 
Le [[volume]] est calculé comme étant ''F'' fois le volume de la [[pyramide]] dont la base est un ''p''-gone régulier et dont la hauteur est le rayon interne ''r''. C’est-à-dire :
:<math>V = {1\over 3}rA.</math>
 
Le tableau suivant liste les divers rayons des solides de Platon ainsi que leurs aires ''A'' et leurs volumes ''V'', et deux taux de remplissage : les rapports entre ces volumes ''V'' et ceux, ''V{{ind|S}}'' = 4π''R''{{3}}/3, de la sphère circonscrite et ''V{{ind|s}}'' = 4π''r''{{3}}/3, de la sphère inscrite. La taille globale est fixée en prenant la longueur d'arête, ''a'', égale à 2.
 
{| border=1 cellpadding=6 style="border-collapse: collapse; margin: 1em auto; text-align: center;"
|-
!Polyèdre<br /><small>(''a'' = 2)</small>|| ''r'' || ρ || ''R'' || ''A'' || ''V''||''V''/''V{{ind|S}}''<ref>Pour des valeurs approchées plus précises, voir http://villemin.gerard.free.fr/Geometri/Footsphe.htm#remplir.</ref>||''V{{ind|s}}''/''V''<ref>Pour les valeurs approchées de ''V''/''V{{ind|s}}'', voir {{en}} http://www.thomasbending.co.uk/puzzles/geometry/spheresolids.htm, Volume of the circumscribed solid.</ref>
|-
|[[Tétraèdre]] || <math>1\over {\sqrt 6}</math> || <math>1\over {\sqrt 2}</math> || <math>\sqrt{3\over 2}</math> || <math>4\sqrt 3</math> || <math>\frac{2\sqrt 2}{3}</math>||<math>\frac2{3\pi\sqrt3}\simeq0{,}12</math>||<math>\frac{\pi}{6\sqrt3}\simeq0{,}30</math>
|-
|[[Cube]] || <math>1</math> || <math>\sqrt 2</math> || <math>\sqrt 3</math> || <math>24</math> || <math>8</math>||<math>\frac2{\pi\sqrt3}\simeq0{,}37</math>||<math>\frac{\pi}6\simeq0{,}52</math>
|-
|[[Octaèdre]] || <math>\sqrt{2\over 3}</math> || <math>1</math> || <math>\sqrt 2</math> || <math>8\sqrt 3</math> || <math>\frac{8\sqrt 2}3</math>||<math>\frac1{\pi}\simeq0{,}32</math>||<math>\frac{\pi}{3\sqrt 3}\simeq0{,}60</math>
|-
|[[Dodécaèdre régulier|Dodécaèdre]] || <math>\frac{\varphi^2}{\xi}</math> || <math>\varphi^2</math> || <math>\sqrt 3\,\varphi</math> || <math>60\frac{\varphi}{\xi}</math> || <math>20\frac{\varphi^3}{\xi^2}</math>||<math>\frac{\varphi}{\pi}\sqrt{5\over3}\simeq0{,}66</math>||<math>\frac{\pi\varphi^{7/2}}{15\sqrt[4]5}\simeq0{,}75</math>
|-
|[[Icosaèdre]] || <math>\frac{\varphi^2}{\sqrt 3}</math> || <math>\varphi</math> || <math>\xi\varphi</math> || <math>20\sqrt 3</math> || <math>\frac{20\varphi^2}3</math>||<math>\frac{\sqrt\varphi\sqrt[4]5}{\pi}\simeq0{,}61</math>||<math>\frac{\pi\varphi^4}{15\sqrt3}\simeq0{,}83</math>
|}
 
Les constantes φ et ξ ci-dessus sont données par
:<math>\varphi = 2\cos{\pi\over 5} = \frac{1+\sqrt 5}{2}\qquad\xi = 2\sin{\pi\over 5} = \sqrt{\frac{5-\sqrt 5}{2}} = 5^{1/4}\varphi^{-1/2}.</math>
 
Parmi les solides de Platon, le dodécaèdre ou l'icosaèdre peuvent être regardés comme la meilleure approximation de la sphère. L'icosaèdre a le plus grand nombre de faces, le plus grand angle dièdre, et son enveloppe est la plus proche de sa sphère inscrite. Le dodécaèdre, d'un autre côté, a le plus petit défaut angulaire, le plus grand angle solide au sommet et il remplit le plus sa sphère circonscrite.
 
{{boîte déroulante|titre=Descriptions et sections planes classiques {{passage inédit|date=septembre 2011}}|contenu=
{{Section à sourcer|date=septembre 2011}}
{{à désacadémiser|date=septembre 2011}}
La première rubrique n’expose pas seulement des propriétés de l’octaèdre et du cube. Elle compare certaines [[#sctions|sections planes]] des deux solides à des sections de dodécaèdre. Elle prépare à l’étude des autres solides en expliquant des concepts utiles, par exemple {{nobr|[[#axedef|la notion d’axe]]}} de certains objets, ou la [[#dualdef|notion de dual]] d’un solide. Grâce à la rubrique des [[#Contre-exemples|contre-exemples,]] l’emploi des adjectifs « régulier » et « convexe » est plus compréhensible.
 
=== ;Octaèdre et cube ===
 
Nous interprétons [[#i_1|l’image]] quand nous regardons {{nobr|l’octaèdre de dessus.}} L’octaèdre est régulier, nous dit la légende. Alors ses huit faces sont des triangles équilatéraux de la même taille. [[Perspective (représentation)|La perspective]] donne aux deux faces horizontales leur vraie forme et leur vraie grandeur, les images de ''ABC'' et ''HLU'' sont superposables {{nobr|[[isométrie|– isométriques –.&nbsp;]]}} Les douze arêtes sont égales, mais le dessin en rapetisse une sur deux. N’importe quel sommet du solide est commun à quatre faces. Le solide est supposé opaque, il présente à notre regard trois faces de sommet ''A.'' L’arête cachée [''LU ''] est en pointillé, ainsi le veut une règle {{nobr|[[géométrie descriptive|de géométrie descriptive.]]}}
 
 
Les noms des points et les couleurs des faces et des arêtes ne changent pas entre les épures 1 [[#i_2|et 2.]]
<div style="text-align:right" id="i_1">&nbsp; </div>
[[File:Academviews regular octahedron.svg|thumb|upright=1.5|'''Épure {{n°}}1.'''{{Ancre|i_2}}<br/>Un octaèdre régulier vu en&nbsp;élévation et&nbsp;vu de&nbsp;dessus. Ses&nbsp;faces ''ABC'' et&nbsp;''HLU'' sont horizontales.]]
'''Épure {{n°}}1.'''{{Ancre|i_2}}<br/>Un octaèdre régulier vu en élévation et vu de dessus. Ses faces ''ABC'' et ''HLU'' sont horizontales.]]
[[File:Academ RegularOctahedron UnchangedCrossSectionsByOneThirdOrQuarterTurn.svg|thumb|upright=1.5|'''Épure {{numéro}}2.'''<br />Quel que soit le sens de&nbsp;rotation, un&nbsp;quart de tour autour de&nbsp;(''CS '') ou un tiers de tour autour de&nbsp;(''TS '') transforme l’octaèdre en&nbsp;lui-même, et&nbsp;conserve aussi ses sections planes perpendiculaires à l’axe de&nbsp;rotation.]]
[[File:Academ RegularOctahedron UnchangedCrossSectionsByOneThirdOrQuarterTurn.svg|thumb|
'''Épure {{numéro}}2.'''<br />Quel que soit le sens de rotation, un quart de tour autour de (''CS '') ou un tiers de tour autour de (''TS '') transforme l’octaèdre en lui-même, et conserve aussi ses sections planes perpendiculaires à l’axe de rotation.]]
 
Une '''diagonale d’un polyèdre''' est une droite ou un segment qui joint deux de ses sommets, sans être ni un côté ni une diagonale d’une face. Les diagonales des carrés bleu, vert et rouge sont les trois diagonales de l’octaèdre. Ce sont des diamètres de sa sphère ''circonscrite'' – la sphère qui passe par tous ses sommets –. {{nobr|Le centre ''S''}} de la sphère est le ''centre'' commun des carrés. En effet, on appelle ''centre'' d’un rectangle ou d’un {{nobr|[[polygone régulier]]}} le centre de son cercle [[Cercle circonscrit|circonscrit.]] N’importe quel solide de Platon est inscriptible dans une sphère, dont le centre s’appelle le ''centre du solide.''
 
L’information sur le point ''T'' serait très partielle si nous regardions seulement lal’épure vue [[#i_1|en&nbsp;élévation&nbsp;{{n°}}1]]2, ou seulement [[#i_2|l’épure&nbsp;la vue en élévation {{n°}}2]]1. Ce&nbsp;Le point ''T'' est le centre de&nbsp; ''ABC'' (: le centre dude son cercle circonscrit de&nbsp;''ABC'').
 
Considérons la sphère circonscrite à l’octaèdre. Son intersection avec le plan d’une face triangulaire est le cercle circonscrit à cette face. La section de la sphère par le plan d’un carré en couleur est un [[grand cercle]] de la sphère, le cercle circonscrit au carré. Dans les plans obliques des carrés, aucun des trois grands cercles n’est tracé dans les épures, ni aucun cercle circonscrit à une face. [[#i_4|L’épure {{n°|4}}]] montre en bleu deux grands cercles verticaux.
Une infinité de sections du solide sont des carrés. Quatre carrés sont dessinés dans [[#i_2|l’épure 2,]] l’un est une réduction de la section diagonale bleue par une [[homothétie]] {{nobr|de centre ''C.'' }} Les deux carrés bleus homothétiques l’un de l’autre ont le même axe (''CS ''), qui est la diagonale commune aux deux autres carrés diagonaux. Les plans de ces carrés rouge et vert sont à la fois perpendiculaires l’un à l’autre, et perpendiculaires aux plans des deux carrés bleus.
 
<div style="clear:both;text-align:right" id="i_3">&nbsp; </div>
[[File:Academ RegularOctahedronSeenInTheDirectionOfADiagonal RegularCrossSections.svg|thumb|upright=1.5|'''Épure {{numéro}}3.'''<br />Les centres des huit faces et l’hexagone blanc, vus dans la direction d’une diagonale de l’octaèdre.]]
'''Épure {{numéro}}3.'''<br />Les centres des huit faces et l’hexagone blanc, vus dans la direction d’une diagonale de l’octaèdre.]]
 
Un quart de tour autour de n’importe quelle diagonale conserve l’octaèdre. L’épure 2 attire l’attention sur des quarts de tour autour de (''CS ''), {{nobr|[[#i_3|et l’épure 3]]}} sur des quarts de tour autour de (''AS ''). Malgré l’absence de lettres dans l’épure 3, l’octaèdre est reconnaissable grâce aux couleurs des faces et des arêtes. Et on peut quand même désigner les points par leurs noms.
À partir du centre d’une face, on obtient les centres de trois autres faces par trois quarts de tour successifs dans le même sens autour de (''AS ''). Les centres des cibles représentent les sommets de deux carrés d’axe (''AS ''), dans deux plans parallèles distincts. En tournant autour d’une autre diagonale de l’octaèdre, des quarts de tour auront le même effet. Par conséquent, les centres des faces triangulaires sont les sommets d’un polyèdre de six faces carrées. Ce polyèdre est un cube contenu [[#i_4|dans l’octaèdre.]]
 
<div style="clear:both;text-align:right" id="i_4">&nbsp; </div>
[[File:Academ Elevation Cube in its dual.svg|thumb|upright=1.5|'''Épure {{numéro}}4.'''<br />Les centres des faces du même octaèdre sont les sommets d’un cube.]]
'''Épure {{numéro}}4.'''<br />Les centres des faces du même octaèdre sont les sommets d’un cube.]]
 
Dans l’espace, un sommet du cube est au tiers {{nobr|[[Médiane (géométrie)|de chaque médiane]]}} d’une face équilatérale. Une épure le représente au tiers des images des médianes. [[#i_3|L’épure 3]] permet de comparer la longueur d’une arête de l’octaèdre et celle d’une diagonale d’une face du cube. En effet, la dimension du contour vert de l’octaèdre est la longueur de ses arêtes. Et une diagonale d’une face du cube est en vraie grandeur si elle est parallèle à un côté du carré vert. Ce rapport de longueurs apparaît aussi {{nobr|[[#i_4|dans l’épure 4,]]}} qui montre le cube en élévation dans le même octaèdre. Par exemple, le centre ''K'' de ''ALU'' est un sommet du cube. Avec des sommets de mêmes noms et des faces de mêmes couleurs, ce cube est étudié jusque dans la prochaine rubrique.
 
<span id="dualdef"
title=" Que signifie « dual » ? ">Étant donné un solide de Platon de ''p'' sommets et ''q''&nbsp; faces,</span> son&nbsp; '''dual''' est un solide de&nbsp; Platon qui a le même nombre d’arêtes,de ''q''&nbsp; sommets et&nbsp; ''p''&nbsp; faces, avec le même nombre d’arêtes. Quand on dit que cube et octaèdre sont duaux l’un de l’autre par exemple, ou quand on parle «&nbsp; du&nbsp; » dual de l’un ou&nbsp;l’autrel’octaèdre avec un article&nbsp; défini, sans avoir précisé davantage de quel solide il s’agit, alors on désigne par «&nbsp; cube&nbsp; » ou par «&nbsp; octaèdre&nbsp; » le nombre infinil’ensemble des polyèdres réguliers convexes{{nobr|en nombre infini,}} tous semblables entre eux, qui ont huit sommets dans un&nbsp; cas, huit faces dans l’autre&nbsp;cas.
 
À partir d’un octaèdre régulier, comment obtenir un dual {{nobr|de même centre ? }} L’épure 4 montre une construction possible. On peut aussi construire les faces d’un dual, au lieu de construire ses sommets. Les plans des faces carrées de cet autre cube sont perpendiculaires en leurs extrémités aux diagonales de l’octaèdre. Les arêtes de ce cube-là sont égales aux diagonales de l’octaèdre. Les sommets de l’octaèdre initial sont alors les centres des six carrés construits. Le cube et l’octaèdre duaux l’un de l’autre sont ainsi disposés dans la prochaine rubrique, [[#i_8|épure 8.]]
{{Ancre|canonicaldual}}Deux solides de Platon sont des duaux ''[[Canonique (mathématiques)|canoniques]]'' l’un de l’autre quand '''les sommets de l’un sont les centres des faces de l’autre'''. Tout solide de Platon est un dual canonique de deux autres, semblables entre eux. Le centre commun des trois solides est le centre des homothéties qui transforment l’un en l’autre les solides semblables. Par exemple, les centres des faces du cube de l’épure 4 sont les sommets d’un octaèdre régulier, homothétique du premier octaèdre.
 
L’octaèdre et le cube de l’épure 4 ont le même centre ''S. '' Les quatre diagonales d’un cube ont le même milieu, qui est le centre {{nobr|du&nbsp; cube&nbsp; :&nbsp; }} son centre de symétrie, et le centre de sa sphère circonscrite. Les quatre arêtes du cube parallèles à (''AH '') sont en vraie grandeur. Deux des quatre ont leurs images confondues, avec ''S'' représenté au milieu. Pour mieux montrer le cube, l’épure 4 laisse vides les volumes des sphères et de l’octaèdre. La perspective ne déforme pas le cercle de diamètre [''VT ''] dans le plan vertical (''ATH ''). Avec ce cercle on imagine la sphère inscrite dans l’octaèdre, tangente à ses huit faces. C’est aussi la sphère circonscrite au cube.
 
Présente seulement dans [[#i_4|l’épure 4,]] la lettre ''t'' désigne la hauteur d’une face équilatérale. Rapportée à la longueur d’une arête de l’octaèdre, la distance entre deux arêtes opposées du cube est :<br /><math>\tfrac{TK}{BU} = \tfrac{AT}{t} = \tfrac{2}{3}.</math>
 
<div id="i_6" style="float:right;width:300px;height:90px;border:black dashed;margin:3em;padding:3em">Une '''épure {{numéro}}5''' est prévue, où se couperont des sections diagonales d’un cube.</div>
[[File:AcademViews Cube EquatorialCrossSectionOrthogonalToADiagonal.svg|thumb|upright=1.5|'''Épure {{numéro}}6.'''<br />Un demi-cube en élévation et de dessus. Une diagonale du cube initial est verticale comme [[#i_4|dans l’épure {{numéro}}4.]]]]
'''Épure {{numéro}}6.'''<br />Un demi-cube en élévation et de dessus. Une diagonale du cube initial est verticale comme [[#i_4|dans l’épure {{numéro}}4.]]]]
 
Dans la présente rubrique et dans la prochaine, ''h'' est le tiers de la longueur d’une diagonale du cube. {{nobr|''h'' √{{surligner|3}} est}} alors la longueur d’une arête du cube, {{nobr|et ''h'' √{{surligner|6}} }} la distance entre deux arêtes opposées.
Visible dans [[#i_1|l’épure {{numéro}}1,]] l’angle entre une diagonale et une face d’un octaèdre mesure ''γ.'' Le supplément {{nobr|de&nbsp; ( 2 ''γ '')&nbsp;}} est l’angle de deux faces adjacentes. Quand un octaèdre régulier a deux faces horizontales, le complément de ''γ'' est l’inclinaison de ses six arêtes obliques, ou l’inclinaison de ses trois plans diagonaux. La lettre ''γ'' désigne la même mesure d’angle sous le prochain titre.
 
<div style="clear: both"> </div>
{{clear}}
 
=== ;Cube et tétraèdre ===
 
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[[File:Academ truncated cube on triangular face.svg|thumb|
[[File:Academ truncated cube on triangular face.svg|thumb|upright=1.5|'''Épure {{n°}}7.'''{{Ancre|i_8}}<br/>En élévation et de dessus, un cube tronqué posé sur sa face horizontale&nbsp;''KMN.&nbsp;'' Trois troncatures de&nbsp;plus, et on obtient le tétraèdre régulier&nbsp;''TKMN.'']]
'''Épure {{n°}}7.'''{{Ancre|i_8}}<br/>En élévation et de dessus, un cube tronqué posé sur sa face horizontale ''KMN. '' Trois troncatures de plus, et on obtient le tétraèdre régulier ''TKMN.'']]
[[File:Academ Three concentric platonic solids in a cube.svg|thumb|upright=1.5|'''Épure {{n°}}8.'''{{Ancre|i_9}}<br/>Deux tétraèdres réguliers ont leurs arêtes à la surface d’un même cube. Leur intersection est un octaèdre régulier, dont les sommets sont les centres des faces du cube.]]
[[File:Academ Three concentric platonic solids in a cube.svg|thumb|
[[File:AcademViews RegularTetrahedron in a cube.svg|thumb|upright=1.5|'''Épure {{n°}}9.'''<br />Les arêtes d’un tétraèdre régulier et d’un cube, en élévation et de dessus. Le centre commun ''S'' des deux solides est l’origine d’un repère orthonormé. Les axes du repère sont en trois couleurs différentes, chacun est l’axe de symétrie d’une paire d’arêtes orthogonales du tétraèdre.]]
'''Épure {{n°}}8.'''{{Ancre|i_9}}<br/>Deux tétraèdres réguliers ont leurs arêtes à la surface d’un même cube. Leur intersection est un octaèdre régulier, dont les sommets sont les centres des faces du cube.]]
[[File:AcademViews RegularTetrahedron in a cube.svg|thumb|
'''Épure {{n°}}9.'''<br />Les arêtes d’un tétraèdre régulier et d’un cube, en élévation et de dessus. Le centre commun ''S'' des deux solides est l’origine d’un repère orthonormé. Les axes du repère sont en trois couleurs différentes, chacun est l’axe de symétrie d’une paire d’arêtes orthogonales du tétraèdre.]]
 
Un tétraèdre régulier est une pyramide régulière triangulaire, dont les six arêtes sont égales. Avec quatre faces et quatre sommets, ce tétraèdre est son [[#dualdef|propre dual.]] Par exemple, les centres de ses faces sont les sommets d’un solide semblable concentrique.
 
''S'' est le centre des sphères inscrite et circonscrite à ''TKMN. '' La position de ''S'' est la même sur les quatre hauteurs du tétraèdre. En élévation, l’épure {{n°}}9 montre les deux sphères centrées au quart de [''TR ''] à partir de la base correspondante. Les trois coordonnées de ''R'' sont égales à l’opposé d’un tiers. La sphère inscrite dans ''TKMN'' est trois fois plus petite que la circonscrite. Son diamètre ''h'' est égal à <math>\tfrac{2\,\sqrt{3}}3</math>, avec l’unité de longueur choisie dans l’épure.
<div style="clear: both"> </div>
{{clear}}
 
=== Dodécaèdre de Platon ===
 
;Dodécaèdre
Est-il possible que douze pentagones réguliers convexes, tous isométriques entre eux, aient leurs vingt sommets sur une sphère, chaque sommet étant commun à trois des pentagones ? En construisant un objet, on prouve qu’il existe. Le premier sujet de cette rubrique est la construction géométrique d’un dodécaèdre de Platon, à partir de deux demi-patrons idéalisés. Chaque demi-patron contient six faces. [[#j_10|L’épure {{n°}}10]] montre à plat un demi-patron gris. Au polygone gris de vingt côtés s’ajoutent '''les plis''' de la feuille : les cinq côtés de la face centrale <span style="font-weight:bold;font-style:italic">RSUVW.</span> Une fois pliée, la feuille devient dans l’espace une vasque de six faces. Son bord dentelé a dix sommets, son fond en a cinq. Au cas où nous pourrions fermer la vasque par une vasque identique en guise de couvercle, obtiendrions-nous un polyèdre inscriptible dans une sphère ?
 
<div style="clear: both;text-align:right" id="j_10">&nbsp; </div>
[[File:Academ six unfolded faces dodecahedron.svg|thumb|upright=2|'''Épure {{n°}}10.'''<br />Un contour du solide en perspective est construit en géométrie plane à partir de six faces dépliées du solide.]]
'''Épure {{n°}}10.'''<br />Un contour du solide en perspective est construit en géométrie plane à partir de six faces dépliées du solide.]]
 
Dans toute la rubrique, ''a'' sera la longueur des trente arêtes du solide, et ''d'' celle des soixante diagonales des douze faces. Par exemple dans l’épure {{n°|10, }} {{nobr|1=''UV'' = ''a. ''}} {{nobr|1=Et ''WS '' = φ ''a '' = ''d'', }} où la lettre φ désigne le {{nobr|[[nombre d'or]] :}}
À partir de l’épure {{n°}}11, les lettres qui nommaient les sommets du décagone ''KFNCLAPEMB '' ne désignent plus dix points coplanaires, elles désignent dix sommets du dodécaèdre. Quand les lettres sont absentes d’une épure, on reconnaît quand même le solide grâce aux couleurs de ses faces, les points de la figure de l’espace ont quand même leurs noms. [[#j_14|L’épure 14]] ne respecte pas les couleurs des faces, afin de mieux montrer un pavage de triangles colorés.
 
<div style="clear: both;text-align:right" id="j_11">&nbsp; </div>
[[File:AcademViews PlatonicDodecahedron RegularDecagon.svg|thumb|upright=1.5|'''Épure {{n°}}11'''.{{Ancre|j_12}}<br/>Un dodécaèdre en élévation et de dessus. Deux faces du solide sont horizontales. La section équatoriale horizontale est le décagone régulier convexe aux côtés blancs.]]
[[File:Academviews Platonic dodecahedron.svg|thumb|upright=1.5|'''Épure {{n°}}1211'''.{{Ancre|j_12}}<br />EnUn dodécaèdre en élévation et de dessus, le dodécaèdre dans un cube. ChaqueDeux facefaces dedu cesolide cubesont contienthorizontales. uneLa arêtesection duéquatoriale dodécaèdre.horizontale Quelquesest sectionsle planesdécagone sontrégulier tracées, qui sontconvexe desaux polygonescôtés réguliersblancs.]]
[[File:Academviews Platonic dodecahedron.svg|thumb|
[[File:Academ PlatonicDodecahedron EquatorialRegularHexagons.svg|thumb|upright=1.5|'''Épure {{n°}}13'''.{{Ancre|j_14}}<br/>Autour d’une droite passant par deux sommets opposés, une rotation d’un tiers de tour transforme le solide en lui-même, et conserve aussi l’hexagone régulier, dans le plan équatorial perpendiculaire à l’axe de rotation.]]
'''Épure {{n°}}12'''.<br />En élévation et de dessus, le dodécaèdre dans un cube. Chaque face de ce cube contient une arête du dodécaèdre. Quelques sections planes sont tracées, qui sont des polygones réguliers.]]
[[File:Academ PlatonicDodecahedron twentyRegularHexagons GoldenRatio Notations.svg|thumb|upright=1.5|'''Épure {{n°}}14'''.<br />Vingt sections non équatoriales sont des hexagones réguliers, chaque section est perpendiculaire à une droite passant par deux sommets opposés.]]
[[File:Academ PlatonicDodecahedron EquatorialRegularHexagons.svg|thumb|
'''Épure {{n°}}13'''.{{Ancre|j_14}}<br/>Autour d’une droite passant par deux sommets opposés, une rotation d’un tiers de tour transforme le solide en lui-même, et conserve aussi l’hexagone régulier, dans le plan équatorial perpendiculaire à l’axe de rotation.]]
[[File:Academ PlatonicDodecahedron twentyRegularHexagons GoldenRatio Notations.svg|thumb|
'''Épure {{n°}}14'''.<br />Vingt sections non équatoriales sont des hexagones réguliers, chaque section est perpendiculaire à une droite passant par deux sommets opposés.]]
 
Dans tous les contours du solide en perspective, au moins deux arêtes opposées ont leur distance en vraie grandeur. Entre deux arêtes symétriques l’une de l’autre par rapport à ''Ω'', la distance {{nobr|φ ''d'', }} ou {{nobr|φ{{Exp|2}} ''a'', }} est aussi la distance entre les milieux des deux arêtes. Une droite passant par ''Ω'' et par le milieu d’une arête est un axe de symétrie du dodécaèdre.
Les arêtes d’un cube sont en gris clair épais [[#j_12|dans l’épure 12.]] Chaque face carrée du cube contient une arête du dodécaèdre, parallèle à deux côtés du carré. Le milieu de l’arête est le centre du carré. À la surface de ce cube, quatre arêtes du dodécaèdre sont en vraie grandeur en élévation. Le plan vertical (''ARΩ '') contient deux des quatre, [''AR ''] et son opposée. Les deux autres sont [''FL ''] et [''PB ''], symétriques l’une de l’autre par rapport à (''ARΩ ''). Deux arêtes du dodécaèdre à la surface du cube sont représentées par des points en élévation : les arêtes horizontales [''VU ''] et son opposée.
 
La même épure {{n°}}12 montre des carrés en trait fin jaune, un seul carré en élévation, non déformé par la perspective. Ce carré-là représente deux faces opposées d’un cube, dont les douze arêtes sont à la surface du dodécaèdre. ChaqueCinq facecubes dusont ainsi associés au dodécaèdre ade unePlaton, diagonaletous confonduede avecla unemême arêtetaille d'unet tel&nbsp;cube.de même centre '''Cinq&nbsp;cubes'Ω. '' [[Concentricité|concentriques]]Étant sontdonné ainsiun associéstel aucube à l’intérieur du dodécaèdre, tousune diagonale de même&nbsp;taillechaque face du dodécaèdre est une arête du cube.
 
L’homothétie de centre ''Ω'' et de rapport φ agrandit le cube aux fines arêtes jaunes en l’autre cube aux grosses arêtes grises, qui contient le dodécaèdre. Alors plutôt que cinq cubes, associons cinq paires de cubes concentriques à un dodécaèdre de Platon.
{{clear}}
 
=== ;Icosaèdre de Platon ===
Icosaèdre et dodécaèdre de Platon sont [[File#Polyèdre dual|duaux]] l'un de l'autre :Academ Twoles stellationscentres ofdes afaces Platonicd'un dodecahedron.svgdodécaèdre sont les sommets d'un icosaèdre de Platon [[Concentricité|thumb|upright=1concentrique]] et, inversement, les centres des faces d'un icosaèdre de Platon sont les sommets d'un dodécaèdre de Platon concentrique.5|left| Les sommets d'un icosaèdre de Platon icipeuvent être construits à&nbsp; partir d'un&nbsp; dodécaèdre de&nbsp; Platon, en&nbsp; prolongeant ses&nbsp; arêtes (voir {{Commons-inline|Category:Dodecahedron and icosahedron|Dodécaèdre et icosaèdre}}).]]
Icosaèdre et dodécaèdre de Platon sont [[#Polyèdre dual|duaux]] l'un de&nbsp;l'autre&nbsp;: les centres des faces d'un icosaèdre sont les sommets d'un dodécaèdre de&nbsp;Platon [[Concentricité|concentrique]], et&nbsp;inversement les centres des faces d'un dodécaèdre de&nbsp;Platon sont les sommets d'un icosaèdre concentrique. On&nbsp;peut construire ces sommets-là en&nbsp;prolongeant [[#Icosaèdre_de_Platon|les&nbsp;arêtes]] d'un&nbsp;dodécaèdre de&nbsp;Platon, ce qui revient [[Stellation#Les_polygones_étoilés|à&nbsp;étoiler]] les douze faces du&nbsp;dodécaèdre. Les&nbsp;sommets [[Pentagramme#Le_pentagramme,_figure_géométrique|du&nbsp;pentagone&nbsp;étoilé]] sont les sommets d'une section régulière classique de&nbsp;l'icosaèdre, qui&nbsp;contient cinq&nbsp;arêtes du&nbsp;solide. En&nbsp;étoilant le dodécaèdre, autrement dit en prolongeant ses faces, on obtient un dodécaèdre étoilé de mêmes sommets que&nbsp;l'icosaèdre&nbsp;: un&nbsp;[[Petit dodécaèdre étoilé|petit&nbsp;dodécaèdre&nbsp;étoilé]] ou&nbsp;un [[Grand dodécaèdre|grand&nbsp;dodécaèdre]]. Inversement, on obtient un dodécaèdre régulier convexe en&nbsp;tronquant douze&nbsp;fois un dodécaèdre étoilé, quand les&nbsp;plans de&nbsp;sections sont les plans des&nbsp;faces du&nbsp;polyèdre étoilé. On obtient aussi un dodécaèdre de&nbsp;Platon en&nbsp;tronquant à&nbsp;chaque sommet un icosaèdre de&nbsp;Platon, par&nbsp;une section passant par&nbsp;les extrêmités des cinq&nbsp;arêtes issues du&nbsp;sommet tronqué.
{{clear}}
 
=== ;Contre-exemples ===
{{Ancre|triangularbipyramid}}Pour qu’un polyèdre soit '''régulier''', il faut que toutes ses faces soient des polygones [[Polygone régulier|réguliers]] isométriques – superposables –. Cette condition ne suffit pas. Par exemple, en ajoutant à un tétraèdre régulier son symétrique par rapport au plan d’une face, on obtient un hexaèdre dont les faces sont des triangles équilatéraux de même taille. Parfois appelé « [[diamant triangulaire]] », cet hexaèdre [[Ensemble convexe|est convexe.]] Il n’est pas régulier, parce que l’un quelconque de ses sommets est commun soit à trois faces, {{nobr|soit à quatre.}} Pour qu’un polyèdre soit régulier, il faut et il suffit que ses faces soient des polygones réguliers isométriques, et qu’à chaque sommet les arêtes issues du sommet forment des figures isométriques. Non régulier, cet hexaèdre construit à partir d’un tétraèdre régulier n’est pas un solide de Platon.
 
{{Ancre|tetrahemihexa}}Parce que '''les faces d’un polyèdre peuvent se couper''', définir l’ensemble des arêtes d’un polyèdre ne suffit pas à définir le polyèdre. Par exemple, prenons un octaèdre régulier. Prenons ses trois carrés diagonaux et quatre de ses faces, de façon que deux faces triangulaires quelconques n’aient pas d’arête commune. Et voilà les sept faces [[tétrahémihexaèdre|d’un tétrahémihexaèdre,]] qui a les mêmes sommets et les mêmes arêtes que l’octaèdre initial. Ce polyèdre de sept faces n’est [[#triangularbipyramid|ni régulier,]] ni convexe. Ce n’est donc pas un solide de Platon. Nommer des sommets en partant d’un sommet quelconque et en suivant des arêtes, désigner l’octaèdre {{nobr|[[#i_1|de l’épure {{n°}}1]]}} par<span style="font-weight:bold;font-style:italic"> ABCHLU </span> par exemple, '''ce serait incorrect''' parce que deux objets différents ne peuvent pas porter le même nom.
{{clear}}
}}
 
== Propriétés combinatoires ==
 
Un polyèdre convexe est un solide de Platon si et seulement si
#Toutes ses faces sont des [[polygone régulier|polygones réguliers]] convexes [[Isométrie|isométriques]], c'est-à-dire superposables,
#Aucune de ses faces ne se coupe, excepté sur les arêtes
#Le même nombre de faces se rencontrent à chacun de ses [[sommet (géométrie)|sommets]].
Chaque solide de Platon peut par conséquent être noté par un symbole {''p'', ''q''} où
:''p'' = le nombre de côtés de chaque face (ou le nombre de sommets sur chaque face) et
:''q'' = le nombre de faces se rencontrant à chaque sommet (ou le nombre d'arêtes se rencontrant à chaque sommet).
Le symbole {''p'', ''q''}, appelé le [[symbole de Schläfli]], donne une description [[combinatoire]] du polyèdre. Les symboles de Schläfli des cinq solides de Platon sont donnés dans la table ci-dessous.
 
{| border="1" cellpadding="7" style="margin:1em auto; text-align:center; border-collapse: collapse;"
|-
!colspan=2 | Polyèdre
!Sommets
!Arêtes
!Faces
![[Symbole de Schläfli]]
!{{Lien|trad=Vertex configuration|Configuration de sommet|texte=Configuration<br />de sommet}}
|-
|[[Tétraèdre]]
|[[Image:Tetrahedron.svg|50px|Tétraèdre]]
|4||6||4||{3, 3}||3.3.3
|-
|[[Cube|Hexaèdre]]
|[[Image:Hexahedron.svg|50px|Hexaèdre (cube)]]
|8||12||6||{4, 3}||4.4.4
|-
|[[Octaèdre]]
|[[Image:Octahedron.svg|50px|Octaèdre]]
|6||12||8||{3, 4}||3.3.3.3
|-
|[[Dodécaèdre régulier|Dodécaèdre]]
| [[Image:POV-Ray-Dodecahedron.svg|50px|Dodécaèdre]]
|20||30||12||{5, 3}||5.5.5
|-
|[[Icosaèdre]]
| [[Image:Icosahedron.svg|50px|Icosaèdre]]
|12||30||20||{3, 5}||3.3.3.3.3
|}
 
Toutes les autres informations combinatoires à propos de ces solides, telles que le nombre total de sommets (''S''), des arêtes (''A'') et des faces (''F'') peuvent être déterminées à partir de ''p'' et ''q''. Puisque toute arête joint deux sommets et possède deux faces adjacentes, nous devons avoir :
:<math>pF = 2A = qS.\,</math>
L'autre relation entre ces valeurs est donnée par la [[caractéristique d'Euler|formule d'Euler]] :
:<math>S - A + F = 2.\,</math>
Ce fait non-trivial peut être démontré d'une grande variété de manières (en [[topologie algébrique]] il découle de ce fait que la caractéristique d'Euler de la [[sphère]] est 2). Mises ensemble, ces trois relations déterminent complètement ''S'', ''A'' et ''F'' :
:<math>S = \frac{4p}{4 - (p-2)(q-2)},\quad A = \frac{2pq}{4 - (p-2)(q-2)},\quad F = \frac{4q}{4 - (p-2)(q-2)}.</math>
Note : échanger ''p'' et ''q'' intervertit ''F'' et ''S'' laissant ''A'' inchangé (pour une interprétation géométrique de ce fait, voir la section sur les polyèdres duaux ci-dessous).
 
== Classification ==
 
C'est un résultat classique qu'il existe seulement cinq polyèdres réguliers convexes. Deux arguments communs sont donnés ci-dessous. Les deux montrent seulement qu'il ne peut pas y avoir plus de cinq solides de Platon. Que chacun des cinq existe réellement est une question séparée — à laquelle on peut répondre par une construction explicite.
 
=== Démonstration géométrique ===
 
L'argument géométrique suivant est très similaire à celui donné par Euclide dans les ''Éléments'' :
#Chaque sommet du solide doit coïncider avec un sommet sur au moins trois faces, sinon ce n'est qu'un point de côté et non un sommet.
#À chaque sommet du solide, le total des angles entre les côtés adjacents relatifs aux faces adjacentes, doit être strictement inférieur à {{unité|360|°}} (sinon, le solide ne peut pas être convexe).
#Les angles de tous les sommets de toutes les faces d'un solide de Platon sont identiques, donc chaque sommet de chaque face doit contribuer pour strictement moins de {{unité|360|°}}/3={{unité|120|°}}.
#Les polygones réguliers de six côtés ou plus ont seulement des angles de {{unité|120|°}} ou plus, donc la face commune doit être le triangle, le carré ou le pentagone. Et pour :
#*les faces [[Triangle|triangulaires]] : chaque sommet d'un triangle régulier a un angle de {{unité|60|°}}, donc une forme doit avoir 3, 4 ou 5 triangles se rencontrant à un sommet ; celles-ci sont le tétraèdre, l'octaèdre et l'icosaèdre respectivement.
#*les faces [[carré]]es : chaque sommet d'un carré a un angle de {{unité|90|°}}, donc il existe seulement un arrangement possible avec trois faces à un sommet, le cube.
#*les faces [[Pentagone (figure)|pentagonales]] : chaque sommet a un angle de {{unité|108|°}} ; de nouveau, seulement un arrangement, de trois faces à un sommet est possible, le dodécaèdre.
 
=== Démonstration topologique ===
 
Une démonstration purement [[topologie|topologique]] peut être donnée en utilisant seulement les informations combinatoires sur les solides. La clé est l'[[caractéristique d'Euler|observation d'Euler]] que <math>S - A + F = 2</math>, et le fait que <math>pF = 2A = qS</math>. En combinant ces équations, on obtient l'équation
:<math>\frac{2A}{q} - A + \frac{2A}{p} = 2.</math>
En divisant par <math>2 A</math> il vient
:<math>{1 \over q} + {1 \over p}= {1 \over 2} + {1 \over A}.</math>
Puisque <math>A</math> est strictement positif, nous devons avoir
:<math>\frac{1}{q} + \frac{1}{p} > \frac{1}{2}.</math>
En utilisant le fait que ''p'' et ''q'' doivent, tous deux, être au moins égaux à 3, on peut facilement voir qu'il existe seulement cinq possibilités pour {''p'', ''q''} :
:<math>\{3, 3\},\quad \{4, 3\},\quad \{3, 4\},\quad \{5, 3\},\quad \{3,5\}.</math>
 
== Propriétés géométriques ==
=== Angles ===
 
Il existe un nombre d'[[angle]]s associés avec chaque solide de Platon. L'[[angle dièdre]] est l'angle interne entre deux faces planes quelconques. L'angle dièdre, θ, du solide {''p'', ''q''} est donné par la formule
:<math>\sin{\theta\over 2} = \frac{\cos(\pi/q)}{\sin(\pi/p)}.</math>
Ceci est quelquefois exprimé de manière plus pratique en termes de [[Fonction trigonométrique|tangente]] par
:<math>\tan{\theta\over 2} = \frac{\cos(\pi/q)}{\sin(\pi/h)}.</math>
La quantité ''h'' est 4, 6, 6, 10 et 10 pour le tétraèdre, le cube, l'octaèdre, le dodécaèdre et l'icosaèdre respectivement,
autrement dit <math>4h = 15+[2(p+q)-11]^2</math>.
 
Le {{Lien|trad=Defect (geometry)|défaut angulaire}} au sommet d'un polyèdre est la différence entre la somme des angles d'une face et 2π. Le défaut, δ, à un sommet quelconque des sommets de Platons {''p'', ''q''} est
:<math>\delta = 2\pi - q\pi\left(1-{2\over p}\right).</math>
Par le [[théorème de Descartes]], ceci est égal à 4π divisé par le nombre de sommets (i.e. le défaut total de tous les sommets est 4π).
 
L'analogue tridimensionnel d'un angle plan est un [[angle solide]]. L'angle solide, Ω, au sommet d'un solide de Platon est donné en termes d'angle dièdre par
:<math>\Omega = q\theta - (q-2)\pi.\,</math>
Ceci provient de la formule de l'{{Lien|trad=Angle excess|Excès angulaire|texte=excès sphérique}} pour un [[Trigonométrie sphérique|polygone sphérique]] et le fait que la [[figure de sommet]] du polyèdre {''p'', ''q''} est un ''q''-gone régulier.
 
Les divers angles associés avec les solides de Platon sont donnés ci-dessous. Les valeurs numériques des angles solides sont données en [[stéradian]]s. La constante <math>\varphi = \frac{(1+\sqrt{5})}{2}\,</math> est le [[nombre d'or]].
 
{| border=1 cellpadding=6 style="border-collapse: collapse; margin: 1em auto; text-align: center;"
|-
!Polyèdre
![[Angle dièdre]]<br /><math>(\theta)\,</math>
!<math>\tan\frac{\theta}{2}</math>
!{{Lien|trad=Defect (geometry)|défaut angulaire}} <math>(\delta)\,</math>
!colspan = 3|[[Angle solide]] <math>(\Omega)\,</math>
|-
|[[Tétraèdre]] || {{unité|70.53|°}} || <math>1\over{\sqrt 2}</math> || <math>\pi\,</math>
|<math>2\tan^{-1}\left(\frac{\sqrt 2}{5}\right)</math>
|<math>\approx 0,551286</math>
|-
|[[Cube]] || {{unité|90|°}} || <math>1\,</math> || <math>\pi\over 2</math>
|<math>\frac{\pi}{2}</math>
|<math>\approx 1,57080</math>
|-
|[[Octaèdre]] || {{unité|109.47|°}} || <math>\sqrt 2</math> || <math>{2\pi}\over 3</math>
|<math>4\sin^{-1}\left({1\over 3}\right)</math>
|<math>\approx 1,35935</math>
|-
|[[Dodécaèdre régulier|Dodécaèdre]] || {{unité|116.56|°}} || <math>\varphi\,</math> || <math>\pi\over 5</math>
|<math>2\tan^{-1}\varphi^5</math>
|<math>\approx 2,96174</math>
|-
|[[Icosaèdre]] || {{unité|138.19|°}} || <math>\varphi^2\,</math> || <math>\pi\over 3</math>
|<math>2\pi - 5\sin^{-1}\left({2\over 3}\right)</math>
|<math>\approx 2,63455</math>
|}
 
=== Rayons, aires et volumes ===
 
Une autre vertu de la régularité est que les solides de Platon possèdent tous trois sphères concentriques :
* la {{Lien|trad=Circumscribed sphere|sphère circonscrite}} qui passe à travers tous les sommets,
* la {{Lien|trad=Midsphere|sphère moyenne}} qui est tangente à chaque arête au milieu de celle-ci et
* la {{Lien|trad=Inscribed sphere|sphère inscrite}} qui est tangente à chaque face au centre de celle-ci.
 
Les [[rayon (géométrie)|rayons]] de ces sphères sont appelés les ''rayons circonscrits'', les ''rayons moyens'' et les ''rayons internes''. Ceux-ci sont les distances à partir du centre du polyèdre aux sommets, aux milieux des arêtes et aux centres de faces respectivement. Le rayon circonscrit ''R'' et le rayon interne ''r'' du solide {''p'', ''q''} avec une longueur d'arête ''a'' sont donnés par
:<math>R = \left({a\over 2}\right)\tan\frac{\pi}{q}\tan\frac{\theta}{2}</math>
:<math>r = \left({a\over 2}\right)\cot\frac{\pi}{p}\tan\frac{\theta}{2}</math>
où θ est l'angle dièdre. Le rayon moyen ρ est donné par
:<math>\rho = \left({a\over 2}\right)\frac{\cos(\pi/p)}{\sin(\pi/h)}</math>
où ''h'' est la quantité utilisée ci-dessus dans la définition de l'angle dièdre (''h'' = 4, 6, 6, 10 ou 10). Noter que le rapport du rayon circonscrit au rayons interne est symétrique dans ''p'' et ''q'' :
:<math>{R\over r} = \tan\frac{\pi}{p}\tan\frac{\pi}{q}.</math>
 
La [[superficie]] ''A'' d'un solide de Platon {''p'', ''q''} est facilement calculée, c'est l'aire d'un ''p''-gone régulier fois le nombre de faces ''F''. C’est-à-dire :
:<math>A = \left({a\over 2}\right)^2 Fp\cot\frac{\pi}{p}.</math>
 
Le [[volume]] est calculé comme étant ''F'' fois le volume de la [[pyramide]] dont la base est un ''p''-gone régulier et dont la hauteur est le rayon interne ''r''. C’est-à-dire :
:<math>V = {1\over 3}rA.</math>
 
Le tableau suivant liste les divers rayons des solides de Platon ainsi que leurs aires ''A'' et leurs volumes ''V'', et deux taux de remplissage : les rapports entre ces volumes ''V'' et ceux, ''V{{ind|S}}'' = 4π''R''{{3}}/3, de la sphère circonscrite et ''V{{ind|s}}'' = 4π''r''{{3}}/3, de la sphère inscrite. La taille globale est fixée en prenant la longueur d'arête, ''a'', égale à 2.
 
{| border=1 cellpadding=6 style="border-collapse: collapse; margin: 1em auto; text-align: center;"
|-
!Polyèdre<br /><small>(''a'' = 2)</small>|| ''r'' || ρ || ''R'' || ''A'' || ''V''||''V''/''V{{ind|S}}''<ref>Pour des valeurs approchées plus précises, voir http://villemin.gerard.free.fr/Geometri/Footsphe.htm#remplir.</ref>||''V{{ind|s}}''/''V''<ref>Pour les valeurs approchées de ''V''/''V{{ind|s}}'', voir {{en}} http://www.thomasbending.co.uk/puzzles/geometry/spheresolids.htm, Volume of the circumscribed solid.</ref>
|-
|[[Tétraèdre]] || <math>1\over {\sqrt 6}</math> || <math>1\over {\sqrt 2}</math> || <math>\sqrt{3\over 2}</math> || <math>4\sqrt 3</math> || <math>\frac{2\sqrt 2}{3}</math>||<math>\frac2{3\pi\sqrt3}\simeq0{,}12</math>||<math>\frac{\pi}{6\sqrt3}\simeq0{,}30</math>
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|[[Cube]] || <math>1</math> || <math>\sqrt 2</math> || <math>\sqrt 3</math> || <math>24</math> || <math>8</math>||<math>\frac2{\pi\sqrt3}\simeq0{,}37</math>||<math>\frac{\pi}6\simeq0{,}52</math>
|-
|[[Octaèdre]] || <math>\sqrt{2\over 3}</math> || <math>1</math> || <math>\sqrt 2</math> || <math>8\sqrt 3</math> || <math>\frac{8\sqrt 2}3</math>||<math>\frac1{\pi}\simeq0{,}32</math>||<math>\frac{\pi}{3\sqrt 3}\simeq0{,}60</math>
|-
|[[Dodécaèdre régulier|Dodécaèdre]] || <math>\frac{\varphi^2}{\xi}</math> || <math>\varphi^2</math> || <math>\sqrt 3\,\varphi</math> || <math>60\frac{\varphi}{\xi}</math> || <math>20\frac{\varphi^3}{\xi^2}</math>||<math>\frac{\varphi}{\pi}\sqrt{5\over3}\simeq0{,}66</math>||<math>\frac{\pi\varphi^{7/2}}{15\sqrt[4]5}\simeq0{,}75</math>
|-
|[[Icosaèdre]] || <math>\frac{\varphi^2}{\sqrt 3}</math> || <math>\varphi</math> || <math>\xi\varphi</math> || <math>20\sqrt 3</math> || <math>\frac{20\varphi^2}3</math>||<math>\frac{\sqrt\varphi\sqrt[4]5}{\pi}\simeq0{,}61</math>||<math>\frac{\pi\varphi^4}{15\sqrt3}\simeq0{,}83</math>
|}
 
Les constantes φ et ξ ci-dessus sont données par
:<math>\varphi = 2\cos{\pi\over 5} = \frac{1+\sqrt 5}{2}\qquad\xi = 2\sin{\pi\over 5} = \sqrt{\frac{5-\sqrt 5}{2}} = 5^{1/4}\varphi^{-1/2}.</math>
 
Parmi les solides de Platon, le dodécaèdre ou l'icosaèdre peuvent être regardés comme la meilleure approximation de la sphère. L'icosaèdre a le plus grand nombre de faces, le plus grand angle dièdre, et son enveloppe est la plus proche de sa sphère inscrite. Le dodécaèdre, d'un autre côté, a le plus petit défaut angulaire, le plus grand angle solide au sommet et il remplit le plus sa sphère circonscrite.
 
== Symétrie ==
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