« Fonction exponentielle/Croissances comparées » : différence entre les versions
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== Comparaison entre e<sup>''x''</sup> et ''x'' en + ∞ == |
== Comparaison entre e<sup>''x''</sup> et ''x'' en + ∞ == |
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Quand on a une forme indéterminée impliquant une exponentielle et un polynôme, c’est toujours l’exponentielle qui « l’emporte ». |
Quand on a une forme indéterminée impliquant une exponentielle et un polynôme, c’est toujours l’exponentielle qui « l’emporte ». |
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Version du 22 septembre 2016 à 03:13
Comparaison entre ex et x en + ∞
On a vu que la fonction exp est strictement croissante sur et tend vers quand x tend vers , et qu’elle croît « vite », c'est-à-dire à la vitesse de la suite géométrique (en).
Pour formaliser ceci, on étudie la limite :
qui est une forme indéterminée .
On étudie sur la fonction .
On a :
et
Sur ,comme donc , donc est croissante sur .
Or donc sur , donc est croissante sur .
Or donc sur
On en déduit avec l’expression de , que sur :
donc:
donc :
.
Or donc par comparaison,
Comparaison entre ex et x en - ∞
On a vu que la fonction exp est strictement croissante sur et tend vers 0 quand x tend vers , à la vitesse de la suite géométrique (e-n).
Pour formaliser, on étudie la limite :
qui est une forme indéterminée
Preuve:
En posant , on a
Application
Déterminer les limites suivantes :
- Donc
- Pour tout
- Or,
- De plus,
- Donc
Pour tout .
- Pour tout , on pose
- On a alors pour tout .
- On sait que
- Donc
- De plus,
- Donc
On pose .
- Pour tout
- On sait que
- Donc .
- Pour tout
- On a
- De plus,
- Donc
Pour tout , on pose .
- Soit .
- On a
- On sait que
- et que
- Donc
- Pour tout
- On a montré plus haut que
- Donc
Soit :
- Donc
- De plus,
- Donc
Soit :
- Donc
- De plus,
- Donc
Extension aux puissances de x
En résumé
Quand on a une forme indéterminée impliquant une exponentielle et un polynôme, c’est toujours l’exponentielle qui « l’emporte ».