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:<math>\dot \mathcal E ( \mathbf k, t ) = -i\omega N(k) \left[ \alpha ( \mathbf k, t ) - \alpha^{*} (-\mathbf k, t) \right]</math> |
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:<math>\dot \mathcal E ( \mathbf k, t ) = -i\omega N(k) \left[ \alpha ( \mathbf k, t ) - \alpha^{*} (-\mathbf k, t) \right]</math> |
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Ainsi, cette fonction décrit complètement le champ électromagnétique. Si on reprend l'expression de tout à l’heure : |
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Ainsi, cette fonction décrit complètement le champ électromagnétique. Si on reprend l’expression de tout à l’heure : |
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:<math>\left( \frac{\partial^2}{\partial^2 t} + \omega^2 \right) \mathcal E = 0</math> |
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:<math>\left( \frac{\partial^2}{\partial^2 t} + \omega^2 \right) \mathcal E = 0</math> |
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Passage à l'espace des phases
On note E et B les champs électrique et magnétique, respectivement. Ces champs sont liés par les quatre équations de Maxwell. En l'absence de charges, elles s'écrivent :
On peut développer ces champs dans l'espace des phases, via la transformée de Fourier, si bien que :
Dans cet espace, l'opérateur nabla peut être réduit à l'opérateur k, de sorte qu'on peut réécrire les équations de Maxwell :
En posant ω = ck, on peut réécrire en manipulant les produits vectoriels cette dernière équation sous la forme :
Rapportant cette expression dans la troisième des équations de Maxwell dans l'espace des phases, on obtient :
En particulier, pour deux k différents, l'évolution des champs est indépendante. On peut réécrire cette relation :
Développement en OPP
On pose la relation :
Avec N une fonction paire. Alors :
Les champs électriques et magnétiques étant réels, cela impose des conditions sur le conjugué de leur transformée de Fourier. On a ainsi :
La fonction α suffit ainsi à connaitre E et sa dérivée, puisque l’on a :
Ainsi, cette fonction décrit complètement le champ électromagnétique. Si on reprend l’expression de tout à l’heure :
En utilisant :
et sachant que la définition de α impose qu'elle est proportionnelle à
on peut réécrire l'équation terminant la section précédente sous la forme :
Cela, après multiplication par , donne enfin :
Ce qui peut s'interpréter comme une équation de Schrödinger.
Énergie électromagnétique
Impulsion du champ EM
Moment cinétique du champ EM
Rappels de MQ