Utilisateur:Sharayanan/Electromag

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Passage à l'espace des phases

On note E et B les champs électrique et magnétique, respectivement. Ces champs sont liés par les quatre équations de Maxwell. En l'absence de charges, elles s'écrivent :

• $\nabla \cdot \mathbf {E} =0$
• $\nabla \cdot \mathbf {B} =0$
• $\nabla \times \mathbf {E} =-\partial _{t}\mathbf {B}$
• $\nabla \times \mathbf {B} ={\frac {1}{c^{2}}}\partial _{t}\mathbf {E}$

On peut développer ces champs dans l'espace des phases, via la transformée de Fourier, si bien que :

• $\mathbf {E} \left(\mathbf {r} ,t\right)=\int {\mathcal {E}}\left(\mathbf {k} ,t\right)e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }\,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r}$
• $\mathbf {B} \left(\mathbf {r} ,t\right)=\int {\mathcal {B}}\left(\mathbf {k} ,t\right)e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }\,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r}$

Dans cet espace, l'opérateur nabla peut être réduit à l'opérateur k, de sorte qu'on peut réécrire les équations de Maxwell :

• $\mathbf {k} \cdot {\mathcal {E}}=0$
• $\mathbf {k} \cdot {\mathcal {B}}=0$
• $\mathbf {k} \times {\mathcal {E}}=-i{\dot {\mathcal {B}}}$
• $\mathbf {k} \times {\mathcal {B}}=-{\frac {i}{c^{2}}}{\dot {\mathcal {E}}}$

En posant ω = ck, on peut réécrire en manipulant les produits vectoriels cette dernière équation sous la forme :

${\mathcal {B}}\left(\mathbf {k} ,t\right)=i{\frac {\mathbf {k} }{\omega ^{2}}}\times {\dot {\mathcal {E}}}\left(\mathbf {k} ,t\right)$

Rapportant cette expression dans la troisième des équations de Maxwell dans l'espace des phases, on obtient :

${\ddot {\mathcal {E}}}+\omega ^{2}{\mathcal {E}}=0$

En particulier, pour deux k différents, l'évolution des champs est indépendante. On peut réécrire cette relation :

$\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial ^{2}t}}+\omega ^{2}\right){\mathcal {E}}=0$

Développement en OPP

On pose la relation :

$2N(\mathbf {k} )\mathbf {\alpha } (\mathbf {k} ,t)={\mathcal {E}}(\mathbf {k} ,t)+{\frac {i}{\omega }}{\dot {\mathcal {E}}}(\mathbf {k} ,t)$

Avec N une fonction paire. Alors :

$2N(\mathbf {k} )\mathbf {\alpha } (-\mathbf {k} ,t)={\mathcal {E}}(-\mathbf {k} ,t)+{\frac {i}{\omega }}{\dot {\mathcal {E}}}(-\mathbf {k} ,t)$

Les champs électriques et magnétiques étant réels, cela impose des conditions sur le conjugué de leur transformée de Fourier. On a ainsi :

$2N(\mathbf {k} )\mathbf {\alpha } ^{*}(-\mathbf {k} ,t)={\mathcal {E}}(\mathbf {k} ,t)-{\frac {i}{\omega }}{\dot {\mathcal {E}}}(\mathbf {k} ,t)$

La fonction α suffit ainsi à connaitre E et sa dérivée, puisque l’on a :

${\mathcal {E}}(\mathbf {k} ,t)=N(k)\left[\alpha (\mathbf {k} ,t)+\alpha ^{*}(-\mathbf {k} ,t)\right]$

${\dot {\mathcal {E}}}(\mathbf {k} ,t)=-i\omega N(k)\left[\alpha (\mathbf {k} ,t)-\alpha ^{*}(-\mathbf {k} ,t)\right]$

Ainsi, cette fonction décrit complètement le champ électromagnétique. Si on reprend l'expression de tout à l’heure :

$\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial ^{2}t}}+\omega ^{2}\right){\mathcal {E}}=0$

En utilisant :

$\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial ^{2}t}}+\omega ^{2}\right)=\left({\frac {\partial }{\partial t}}+i\omega \right)\cdot \left({\frac {\partial }{\partial t}}-i\omega \right)$

et sachant que la définition de α impose qu'elle est proportionnelle à

$\left({\frac {\partial }{\partial t}}-i\omega \right){\mathcal {E}}$

on peut réécrire l'équation terminant la section précédente sous la forme :

$\left({\frac {\partial }{\partial t}}+i\omega \right)\alpha (\mathbf {k} ,t)=0$

Cela, après multiplication par $\hbar$, donne enfin :

$i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\alpha \left(\mathbf {k} ,t\right)=\hbar \omega \alpha \left(\mathbf {k} ,t\right)$

Ce qui peut s'interpréter comme une équation de Schrödinger.