« Espaces vectoriels normés/Espaces de Banach - Complétude » : différence entre les versions
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* la fonction <math>f</math> admet un unique point fixe <math>\ell</math> sur <math>E</math> (c'est-à-dire <math>\exist! \ell\in E\;|\;f(\ell) = \ell</math> ) |
* la fonction <math>f</math> admet un unique point fixe <math>\ell</math> sur <math>E</math> (c'est-à-dire <math>\exist! \ell\in E\;|\;f(\ell) = \ell</math> ) |
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* <math>\ell</math> est la limite de toute suite <math>(u_n)</math> de <math>E</math> définie par <math>u_0 \in E</math> et <math>u_{n+1} = f(u_n)</math> . |
* <math>\ell</math> est la limite de toute suite <math>(u_n)</math> de <math>E</math> définie par <math>u_0 \in E</math> et <math>u_{n+1} = f(u_n)</math> . |
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<small><math>(1)</math> c'est-à-dire <math>k</math>-lipschitzienne avec <math>|k|<1</math></small>. |
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{{Démonstration déroulante |
{{Démonstration déroulante |
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| contenu = |
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* '''Existence du point fixe :'''Puisque <math>f</math> est <math>k</math>-contractante, on a donc : |
* '''Existence du point fixe :'''Puisque <math>f</math> est <math>k</math>-contractante, on a donc : |
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<math>\|u_{n+1}-u_n\| = \|f(u_n) - f(u_{n-1})\| \le k \|u_n-u_{n-1}\|</math> . On en déduit par une récurrence facile que :<br /> |
<math>\|u_{n+1}-u_n\| = \|f(u_n) - f(u_{n-1})\| \le k \|u_n-u_{n-1}\|</math> . On en déduit par une récurrence facile que :<br /> |
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<center>{{Encadre|contenu=<math>\|u_{n+1}-u_n\| \le k^n\|u_1-u_0\|</math>}}</center><br /> |
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&\le \left(k^{n+p-1}+\ldots+k^n \right) \|u_1-u_0\| \\ &\le k^n \frac{1-k^p}{1-k} \|u_1-u_0\| \\&\le \frac{k^n}{1-k}\|u_1-u_0\| \xrightarrow[n\to+\infty]{} 0\end{align}</math><br /> |
&\le \left(k^{n+p-1}+\ldots+k^n \right) \|u_1-u_0\| \\ &\le k^n \frac{1-k^p}{1-k} \|u_1-u_0\| \\&\le \frac{k^n}{1-k}\|u_1-u_0\| \xrightarrow[n\to+\infty]{} 0\end{align}</math><br /> |
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donc <math>(u_n)</math> est de Cauchy et converge vers <math>\ell\in E</math> . En passant à la limite dans <math>u_{n+1} = f(u_n)</math> , on obtient bien que <math>f(\ell) = \ell</math> et que <math>\ell</math> est un point fixe de <math>f</math> . |
donc <math>(u_n)</math> est de Cauchy et converge vers <math>\ell\in E</math> . En passant à la limite dans <math>u_{n+1} = f(u_n)</math> , on obtient bien que <math>f(\ell) = \ell</math> et que <math>\ell</math> est un point fixe de <math>f</math> . |
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* '''Unicité du point fixe :''' Supposons que <math>x</math> et <math>y</math> soient deux points fixes de <math>f</math>. Alors : |
* '''Unicité du point fixe :''' Supposons que <math>x</math> et <math>y</math> soient deux points fixes de <math>f</math>. Alors : |
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<math>\|f(x)-f(y)\| \le k\|x-y\| < \|x-y\|</math> (car <math>k<1</math>) , ce qui est absurde sauf si <math>x=y</math>. |
<math>\|f(x)-f(y)\| \le k\|x-y\| < \|x-y\|</math> (car <math>k<1</math>) , ce qui est absurde sauf si <math>x=y</math>. |
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Version du 23 mars 2016 à 05:49
Dans toute la suite, est un espace vectoriel normé (evn).
Définitions
Voici une propriété vraie dans tout evn et qu'on démontre comme dans :
Définition : Espace de Banach
- Un evn est dit complet si, et seulement si, toute suite de Cauchy y est convergente.
- On appelle espace de Banach tout espace vectoriel normé complet.
Théorèmes
Dans tout ce paragraphe, est un espace de Banach (parfois appelé "Banach").
(démonstration à faire)
Théorème : Critère de Cauchy pour les fonctions
Soient et deux Banach, et .
existe dans si, et seulement si :
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(démonstration à faire)
Théorème du point fixe de Banach
Soient un Banach et une application -contractante .
Alors :
- la fonction admet un unique point fixe sur (c'est-à-dire )
- est la limite de toute suite de définie par et .
c'est-à-dire -lipschitzienne avec .
Démonstration
- Existence du point fixe :Puisque est -contractante, on a donc :
. On en déduit par une récurrence facile que :
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puis que :
donc est de Cauchy et converge vers . En passant à la limite dans , on obtient bien que et que est un point fixe de .
- Unicité du point fixe : Supposons que et soient deux points fixes de . Alors :
(car ) , ce qui est absurde sauf si .