« Géométrie symplectique/Géométrie symplectique linéaire » : différence entre les versions

Une page de Wikiversité, la communauté pédagogique libre.
Contenu supprimé Contenu ajouté
maintenance
LydieBot (discussion | contributions)
m clean up, remplacement: sommaire → Sommaire (2) avec AWB
Ligne 2 : Ligne 2 :
| idfaculté = mathématiques
| idfaculté = mathématiques
| numéro = 1
| numéro = 1
| précédent = [[../|sommaire]]
| précédent = [[../|Sommaire]]
| suivant = [[../Groupe symplectique/]]
| suivant = [[../Groupe symplectique/]]
| niveau = 18
| niveau = 18
}}
}}


L'étude des formes bilinéaires symétriques donne lieu à la [[géométrie euclidienne]], la [[géométrie riemannienne]], et la géométrie pseudo-riemannienne. Au contraire, l'étude des formes bilinéaires alternées donne lieu à la géométrie symplectique. Ce cours a pour objectif d'introduire les principales définitions et les propriétés élémentaires des formes symplectiques, en commençant par une première étude en algèbre linéaire.
L'étude des formes bilinéaires symétriques donne lieu à la [[géométrie euclidienne]], la [[géométrie riemannienne]], et la géométrie pseudo-riemannienne. Au contraire, l'étude des formes bilinéaires alternées donne lieu à la géométrie symplectique. Ce cours a pour objectif d'introduire les principales définitions et les propriétés élémentaires des formes symplectiques, en commençant par une première étude en algèbre linéaire.


== Rappels d'algèbre linéaire ==
== Rappels d'algèbre linéaire ==
Ligne 17 : Ligne 17 :


* '''symétrique''' lorsque pour tous vecteurs ''v'' et ''w'' de ''V'', on a : <math>a(v,w)=a(w,v)</math> ;
* '''symétrique''' lorsque pour tous vecteurs ''v'' et ''w'' de ''V'', on a : <math>a(v,w)=a(w,v)</math> ;

* '''antisymétrique''' lorsque pour tous vecteurs ''v'' et ''w'' de ''V'', on a : <math>a(w,v)=-a(v,w)</math>.
* '''antisymétrique''' lorsque pour tous vecteurs ''v'' et ''w'' de ''V'', on a : <math>a(w,v)=-a(v,w)</math>.


Ligne 23 : Ligne 22 :
<math>a=a_{sym}+a_{antisym}</math>
<math>a=a_{sym}+a_{antisym}</math>
où <math>2a_{sym}(v,w)=a(v,w)+a(w,v)</math> et <math>2a_{antisym}(v,w)=a(v,w)-a(w,v)</math>.
où <math>2a_{sym}(v,w)=a(v,w)+a(w,v)</math> et <math>2a_{antisym}(v,w)=a(v,w)-a(w,v)</math>.



Une forme bilinéaire ''a'' sur ''V'' induit une application linéaire <math>V\rightarrow V^*</math> définie comme suit :
Une forme bilinéaire ''a'' sur ''V'' induit une application linéaire <math>V\rightarrow V^*</math> définie comme suit :
Ligne 88 : Ligne 86 :
* <math>\scriptstyle a(X_i,X_j)=0</math>, <math>\scriptstyle a(X_i,Y_j)=\delta_{ij}</math> et <math>\scriptstyle a(Y_i,Y_j)=0</math>.
* <math>\scriptstyle a(X_i,X_j)=0</math>, <math>\scriptstyle a(X_i,Y_j)=\delta_{ij}</math> et <math>\scriptstyle a(Y_i,Y_j)=0</math>.
}}
}}



{{Démonstration
{{Démonstration
Ligne 95 : Ligne 92 :


* Initialisation : en dimension 0, la seule forme bilinéaire sur l'espace nul est l'application nulle, la seule base est la famille vide et le résultat s'applique (avec r = 0 et k = 0).
* Initialisation : en dimension 0, la seule forme bilinéaire sur l'espace nul est l'application nulle, la seule base est la famille vide et le résultat s'applique (avec r = 0 et k = 0).

* Supposons le résultat démontré jusqu'à la dimension n-1.
* Supposons le résultat démontré jusqu'à la dimension n-1.
** Si ''a'' est la forme nulle, alors le noyau de ''a'' est ''E'' ; et toute base de ''E'' convient. Sinon, fixons un vecteur ''X''₁ de ''E'' qui ne soit pas dans le noyau de ''a''. Choississons un vecteur ''Y''₁ tel que ''a''(''X''₁,''Y''₁) soit non nul. Quitte à modifier ''Y''₁ en ''Y''₁/''a''(''X''₁,''Y''₁), on est en droit de supposer ''a''(''X''₁,''Y''₁)=1. Les vecteurs ''X''₁ et ''Y''₁ sont non colinéaires et engendrent donc un plan vectoriel ''P''.
** Si ''a'' est la forme nulle, alors le noyau de ''a'' est ''E'' ; et toute base de ''E'' convient. Sinon, fixons un vecteur ''X''₁ de ''E'' qui ne soit pas dans le noyau de ''a''. Choississons un vecteur ''Y''₁ tel que ''a''(''X''₁,''Y''₁) soit non nul. Quitte à modifier ''Y''₁ en ''Y''₁/''a''(''X''₁,''Y''₁), on est en droit de supposer ''a''(''X''₁,''Y''₁)=1. Les vecteurs ''X''₁ et ''Y''₁ sont non colinéaires et engendrent donc un plan vectoriel ''P''.

** L'ensemble des vecteurs ''v'' vérifiant <math>a(X_1,v)=a(Y_1,v)=0</math> est un sous-espace vectoriel Q de ''E''. Tout vecteur ''w'' peut s'écrire :
** L'ensemble des vecteurs ''v'' vérifiant <math>a(X_1,v)=a(Y_1,v)=0</math> est un sous-espace vectoriel Q de ''E''. Tout vecteur ''w'' peut s'écrire :
<math>w=w_P+w_Q</math> où <math>\scriptstyle w_p=a(X_1,w)Y_1+a(w,Y_1)X_1\in P</math> et <math>w_Q\in Q</math>.
<math>w=w_P+w_Q</math> où <math>\scriptstyle w_p=a(X_1,w)Y_1+a(w,Y_1)X_1\in P</math> et <math>w_Q\in Q</math>.
Ligne 129 : Ligne 124 :
* Soit l'impulsion ''p''₁ est nulle, auquel cas ''q''₁ est nécessairement non nul. Comme <math>E^*</math> sépare les points de ''E'', il existe une forme linéaire <math>p_2</math> sur ''E'' vérifiant <math>p_2(q_1)=-1</math>. En prenant <math>q_2=0</math>, on trouve <math>\omega_E(v_1,v_2)=1\neq 0</math>.
* Soit l'impulsion ''p''₁ est nulle, auquel cas ''q''₁ est nécessairement non nul. Comme <math>E^*</math> sépare les points de ''E'', il existe une forme linéaire <math>p_2</math> sur ''E'' vérifiant <math>p_2(q_1)=-1</math>. En prenant <math>q_2=0</math>, on trouve <math>\omega_E(v_1,v_2)=1\neq 0</math>.
}}
}}



{{Exemple|titre=Exemple 3
{{Exemple|titre=Exemple 3
Ligne 140 : Ligne 134 :
''Remarque :'' L'exemple 1 est un cas particulier de l'exemple 3.
''Remarque :'' L'exemple 1 est un cas particulier de l'exemple 3.
}}
}}



{{Exemple|titre=Exemple 4
{{Exemple|titre=Exemple 4
Ligne 178 : Ligne 171 :


En particulier, <math>g_J</math> est un produit euclidien sur ''V'' ; et <math>h_J=g_J+i\omega</math> est un produit hermitien sur l'espace vectoriel complexe <math>(V,J)</math>.}}
En particulier, <math>g_J</math> est un produit euclidien sur ''V'' ; et <math>h_J=g_J+i\omega</math> est un produit hermitien sur l'espace vectoriel complexe <math>(V,J)</math>.}}



{{Démonstration|titre=Vérifications
{{Démonstration|titre=Vérifications
Ligne 184 : Ligne 176 :
* ''<math>g_J</math> est une forme bilinéaire symétrique :''
* ''<math>g_J</math> est une forme bilinéaire symétrique :''


En effet, pour tous vecteurs ''v'' et ''w'' de ''E'', comme ''J'' est un symplectique, il vient :
En effet, pour tous vecteurs ''v'' et ''w'' de ''E'', comme ''J'' est un symplectique, il vient :


<math>g_J(v,w)=\omega(v,Jw)=\omega(Jv,-w)=\omega(w,Jv)=g_J(v,w)</math> ;
<math>g_J(v,w)=\omega(v,Jw)=\omega(Jv,-w)=\omega(w,Jv)=g_J(v,w)</math> ;
Ligne 192 : Ligne 184 :
Le calcul est similaire : <math>h_J(v,Jw)=-\omega(v,w)+i\omega(v,Jw)=i.h_J(v,w)</math>. On montre ainsi que <math>h_J</math> est sesquilinéaire. Par ailleurs, <math>h_J</math> est visiblement défini positif : pour tout vecteur non nul ''v'', on a : <math>h_J(v,v)=\omega(v,Jv)>0</math>.
Le calcul est similaire : <math>h_J(v,Jw)=-\omega(v,w)+i\omega(v,Jw)=i.h_J(v,w)</math>. On montre ainsi que <math>h_J</math> est sesquilinéaire. Par ailleurs, <math>h_J</math> est visiblement défini positif : pour tout vecteur non nul ''v'', on a : <math>h_J(v,v)=\omega(v,Jv)>0</math>.
}}
}}




{{Théorème
{{Théorème
Ligne 201 : Ligne 191 :
De plus, l'nsemble ''I''(''V'') des structures complexes ω-compatibles forme une partie connexe de GL(V). Les groupes <math>GL(V)</math> et <math>Sp(V,\omega)</math> agissent transitivement sur ''I''(''V'') par conjugaison.
De plus, l'nsemble ''I''(''V'') des structures complexes ω-compatibles forme une partie connexe de GL(V). Les groupes <math>GL(V)</math> et <math>Sp(V,\omega)</math> agissent transitivement sur ''I''(''V'') par conjugaison.
}}
}}



{{Démonstration
{{Démonstration
Ligne 219 : Ligne 208 :
La multiplication par ''i'' sur un espace hermitien <math>(H,h)</math> est une isométrie ''J'', et donc en particulier, une structure complexe et un isomorphisme symplectique de <math>(H,\omega_h)</math>. On constate que la forme bilinéaire symétrique définie alors par <math>\omega_h</math> et <math>J</math> est <math>g_h=Re h</math>. En particulier, elle est non dégénérée, et donc ''J'' est <math>\omega_h</math>-compatible. La forme hermitienne ''h'' n'est autre que la forme hermitienne associée à <math>(\omega,J)</math>.
La multiplication par ''i'' sur un espace hermitien <math>(H,h)</math> est une isométrie ''J'', et donc en particulier, une structure complexe et un isomorphisme symplectique de <math>(H,\omega_h)</math>. On constate que la forme bilinéaire symétrique définie alors par <math>\omega_h</math> et <math>J</math> est <math>g_h=Re h</math>. En particulier, elle est non dégénérée, et donc ''J'' est <math>\omega_h</math>-compatible. La forme hermitienne ''h'' n'est autre que la forme hermitienne associée à <math>(\omega,J)</math>.
}}
}}



{{Exemple|titre=Exemple 3 bis
{{Exemple|titre=Exemple 3 bis
Ligne 235 : Ligne 223 :
L'orthogonal n'est pas nécessairement un sous-espace supplémentaire. Par exemple, l'orthogonal d'une droite vectorielle la contient.
L'orthogonal n'est pas nécessairement un sous-espace supplémentaire. Par exemple, l'orthogonal d'une droite vectorielle la contient.
}}
}}



{{Propriété|titre=Propriétés
{{Propriété|titre=Propriétés
Ligne 246 : Ligne 233 :
:* Identité des dimensions : <math>\dim W+\dim W^{o}=\dim V</math>.
:* Identité des dimensions : <math>\dim W+\dim W^{o}=\dim V</math>.
}}
}}



On a ainsi plusieurs cas particuliers :
On a ainsi plusieurs cas particuliers :



{{Définition
{{Définition
Ligne 261 : Ligne 246 :
En particulier, ''W'' est '''lagrangien''' si et seulement s'il est '''isotropique et coisotropique.'''
En particulier, ''W'' est '''lagrangien''' si et seulement s'il est '''isotropique et coisotropique.'''
}}
}}



L'orthogonal d'un hyperplan ''H'' est une droite ''D''. L'orthogonal de ''D'', à savoir ''H'', doit contenir ''D''. Autrement dit, l'orthogonal de ''H'' est contenu dans ''H'' : tout hyperplan est nécessairement coisotropique.
L'orthogonal d'un hyperplan ''H'' est une droite ''D''. L'orthogonal de ''D'', à savoir ''H'', doit contenir ''D''. Autrement dit, l'orthogonal de ''H'' est contenu dans ''H'' : tout hyperplan est nécessairement coisotropique.
Ligne 272 : Ligne 256 :
=== Réduction symplectique ===
=== Réduction symplectique ===
Si ''W'' est un sous-espace coisotropique de ''V'', alors ω induit une forme symplectique sur l'espace quotient <math>W/W^{o}</math>.
Si ''W'' est un sous-espace coisotropique de ''V'', alors ω induit une forme symplectique sur l'espace quotient <math>W/W^{o}</math>.



{{Bas de page
{{Bas de page
| idfaculté = mathématiques
| idfaculté = mathématiques
| précédent = [[../|sommaire]]
| précédent = [[../|Sommaire]]
| suivant = [[../Groupe symplectique/]]
| suivant = [[../Groupe symplectique/]]
}}
}}

Version du 29 janvier 2016 à 11:47

Début de la boite de navigation du chapitre
Géométrie symplectique linéaire
Icône de la faculté
Chapitre no 1
Leçon : Géométrie symplectique
Retour auSommaire
Chap. suiv. :Groupe symplectique
fin de la boite de navigation du chapitre
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Géométrie symplectique : Géométrie symplectique linéaire
Géométrie symplectique/Géométrie symplectique linéaire
 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

L'étude des formes bilinéaires symétriques donne lieu à la géométrie euclidienne, la géométrie riemannienne, et la géométrie pseudo-riemannienne. Au contraire, l'étude des formes bilinéaires alternées donne lieu à la géométrie symplectique. Ce cours a pour objectif d'introduire les principales définitions et les propriétés élémentaires des formes symplectiques, en commençant par une première étude en algèbre linéaire.

Rappels d'algèbre linéaire


Espace vectoriel symplectique


La non-dégénérescence signifie exactement que le noyau de ω est nul, ou encore, que ω réalise un isomorphisme linéaire .

Remarque : L'existence d'une forme symplectique implique que la dimension de V soit paire. Ce fait sera établi par la classification des formes symplectiques donnée ci-dessous.


En particulier, les transformations canoniques d'un espace symplectique dans lui-même forment un sous-groupe du groupe des isomorphismes linéaires de V, noté . On reviendra sur l'étude de ce groupe.

L'exemple suivant est fondamental :

Début de l'exemple
Fin de l'exemple


C'est essentiellement le seul espace symplectique de dimension 2n, du moins à isomorphisme linéaire près. Ce point est démontré dans la section suivante. Cependant, l'isomorphisme n'est pas unique. En pratique, la manière dont se présente un espace symplectique joue un rôle important. D'autres exemples d'espaces symplectiques souvent utilisés seront donnés après la classification.

Classification

Rappelons le résultat suivant :

Début d’un théorème
Fin du théorème


Début d'une démonstration
Fin de la démonstration

Appliquons ce résultat d'algèbre linéaire réelle au cas d'une forme symplectique ω. Comme ω est non-dégénérée, le noyau est nul (donc r = 0). Le théorème précédent donne l'existence d'une base avec 2k la dimension de V. On en déduit que :

La dimension d'un espace symplectique est paire.

De plus, L'application qui à v associe ses coordonnées dans la base est visiblement symplectique pour la forme symplectique usuelle sur . D'où :

En dimension 2n, il n'existe à isomorphisme près qu'un unique espace vectoriel symplectique.

Exemples

Début de l'exemple
Fin de l'exemple


Début de l'exemple
Fin de l'exemple


Début de l'exemple
Fin de l'exemple


Structure complexe

En fait, tout espace vectoriel symplectique peut être obtenu comme dans l'exemple 4. Plus exactement, toute forme symplectique sur un espace vectoriel réel peut être vue comme la partie imaginaire d'une forme hermitienne sur V muni d'une structure complexe.


Alors :

Début d’un théorème
Fin du théorème


Début d'une démonstration
Fin de la démonstration
Début d’un théorème
Fin du théorème


Début d'une démonstration
Fin de la démonstration

Note : Dans le livre de Michèle Audin, il est rapporté un résultat de Sévennec établissant un difféomorphisme de I(V) sur un ouvert de l'espace des matrices symétriques.

Début de l'exemple
Fin de l'exemple


Début de l'exemple
Fin de l'exemple


Sous-espaces d'un espace symplectique


On a ainsi plusieurs cas particuliers :


L'orthogonal d'un hyperplan H est une droite D. L'orthogonal de D, à savoir H, doit contenir D. Autrement dit, l'orthogonal de H est contenu dans H : tout hyperplan est nécessairement coisotropique.

Début de l'exemple
Fin de l'exemple


Réduction symplectique

Si W est un sous-espace coisotropique de V, alors ω induit une forme symplectique sur l'espace quotient .