« Polynôme/Exercices/Racines de polynômes » : différence entre les versions
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Version du 10 février 2015 à 18:15
Exercice 1-1
Trouver tous les polynômes tels que .
Solution
Soit une racine de . On a .
Si admet une infinité de racines. Donc est le polynôme nul.
Donc tout polynôme non nul satisfaisant cette équation n'admet comme racine éventuelle que 1, -1 et 0.
Si , avec a un scalaire, .
Par identification, on obtient le système :
Donc est nul ou est de la forme
Réciproquement, les polynômes de cette forme vérifient bien l'équation :
Exercice 1-2
On note l'ensemble des polynômes unitaires de degré de dont les racines ont leur module inférieur ou égal à 1.
- Montrer que est fini.
- Soit un élément de . On note le polynôme . Montrer que .
- Montrer que les racines des éléments de sont des racines de l'unité.
Solution
Cette solution n'a pas été rédigée. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu
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