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Dans toute la suite, <math>(E,\|.\|) |
Dans toute la suite, <math>(E,\|.\|)</math> est un espace vectoriel normé (evn). |
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== Définitions == |
== Définitions == |
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| titre = Définition : Suite de Cauchy |
| titre = Définition : Suite de Cauchy |
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Une suite <math>(u_n) |
Une suite <math>(u_n)</math> d'éléments de <math>E</math> est '''une suite de Cauchy''' si, et seulement si :<br /> |
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<center>{{Encadre|contenu=<math>\forall \varepsilon > 0 ,\; \exist n_{\varepsilon} \in\N| \forall (n,p)\in\N^2 , n \ge n_{\varepsilon} \Rightarrow \|u_{n+p} - u_n\| < \varepsilon |
<center>{{Encadre|contenu=<math>\forall \varepsilon > 0 ,\; \exist n_{\varepsilon} \in\N| \forall (n,p)\in\N^2 , n \ge n_{\varepsilon} \Rightarrow \|u_{n+p} - u_n\| < \varepsilon</math> }}</center> |
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Voici une propriété vraie dans tout evn et qu'on démontre comme dans <math>\R |
Voici une propriété vraie dans tout evn et qu'on démontre comme dans <math>\R</math> : |
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{{Propriété |
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== Théorèmes == |
== Théorèmes == |
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Dans tout ce paragraphe, <math>(E,\|.\|) |
Dans tout ce paragraphe, <math>(E,\|.\|)</math> est un espace de Banach (parfois appelé "Banach"). |
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{{Théorème |
{{Théorème |
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| titre = Théorème des fermés emboîtés |
| titre = Théorème des fermés emboîtés |
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Soit <math>(F_n) |
Soit <math>(F_n)</math> une suite de fermés de <math>E</math> .<br /> |
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Si : <br /> |
Si : <br /> |
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* <math>\forall n\in\N,\;F_{n+1} \subset F_n \mathrm{\;et\;} F_n\ne \varnothing |
* <math>\forall n\in\N,\;F_{n+1} \subset F_n \mathrm{\;et\;} F_n\ne \varnothing</math> |
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* <math>\lim_{n\to +\infty}\left(\sup_{x,y\in F_n} \|x-y\|\right)= 0 |
* <math>\lim_{n\to +\infty}\left(\sup_{x,y\in F_n} \|x-y\|\right)= 0</math> |
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alors <center>{{Encadre|contenu=<math>\exist! x\in E\;|\; \bigcap_{n\in\N} F_n = \{x\} |
alors <center>{{Encadre|contenu=<math>\exist! x\in E\;|\; \bigcap_{n\in\N} F_n = \{x\}</math>}}</center> |
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| titre = Théorème : Critère de Cauchy pour les fonctions |
| titre = Théorème : Critère de Cauchy pour les fonctions |
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Soient <math>E |
Soient <math>E</math> et <math>F</math> deux Banach, <math>f : A\subset E \to F</math> et <math>a\in \bar A</math>.<br /> |
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<math>\lim_{x\to a}f(x) |
<math>\lim_{x\to a}f(x)</math> existe dans <math>F</math> si, et seulement si : <br /> |
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<center>{{Encadre|contenu=<math>\forall \varepsilon > 0,\;\exist\delta_{\varepsilon} >0|\forall x,y\in A , \|x-y\| < \delta_{\varepsilon} \Rightarrow \|f(x)-f(y)\| < \varepsilon |
<center>{{Encadre|contenu=<math>\forall \varepsilon > 0,\;\exist\delta_{\varepsilon} >0|\forall x,y\in A , \|x-y\| < \delta_{\varepsilon} \Rightarrow \|f(x)-f(y)\| < \varepsilon</math>}}</center> |
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| titre = Théorème du point fixe de Banach |
| titre = Théorème du point fixe de Banach |
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Soient <math>E |
Soient <math>E</math> un Banach et <math>f : E \to E</math> une application <math>k</math>-contractante<math>\,^{(1)}</math> .<br /> |
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Alors :<br /> |
Alors :<br /> |
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* la fonction <math>f |
* la fonction <math>f</math> admet un unique point fixe <math>\ell</math> sur <math>E</math> (c'est-à-dire <math>\exist! \ell\in E\;|\;f(\ell) = \ell</math> ) |
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* <math>\ell |
* <math>\ell</math> est la limite de toute suite <math>(u_n)</math> de <math>E</math> définie par <math>u_0 \in E</math> et <math>u_{n+1} = f(u_n)</math> .<br /> |
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<small><math>(1)</math> c'est-à-dire <math>k</math>-lipschitzienne avec <math>|k|<1</math></small>. |
<small><math>(1)</math> c'est-à-dire <math>k</math>-lipschitzienne avec <math>|k|<1</math></small>. |
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{{Démonstration déroulante |
{{Démonstration déroulante |
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| contenu = |
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* '''Existence du point fixe :'''Puisque <math>f |
* '''Existence du point fixe :'''Puisque <math>f</math> est <math>k</math>-contractante, on a donc :<br /> |
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<math>\|u_{n+1}-u_n\| = \|f(u_n) - f(u_{n-1})\| \le k \|u_n-u_{n-1}\| |
<math>\|u_{n+1}-u_n\| = \|f(u_n) - f(u_{n-1})\| \le k \|u_n-u_{n-1}\|</math> . On en déduit par une récurrence facile que :<br /> |
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<center>{{Encadre|contenu=<math>\|u_{n+1}-u_n\| \le k^n\|u_1-u_0\| |
<center>{{Encadre|contenu=<math>\|u_{n+1}-u_n\| \le k^n\|u_1-u_0\|</math>}}</center><br /> |
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puis que :<br /> |
puis que :<br /> |
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<math>\forall (n,p)\in\N^2 |
<math>\forall (n,p)\in\N^2</math><br /> |
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<math>\begin{align}\|u_{n+p} - u_n\| &\le \|u_{n+p}-u_{n+p-1}\| + \ldots + \|u_{n+1} - u_n\| \\ |
<math>\begin{align}\|u_{n+p} - u_n\| &\le \|u_{n+p}-u_{n+p-1}\| + \ldots + \|u_{n+1} - u_n\| \\ |
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&\le \left(k^{n+p-1}+\ldots+k^n \right) \|u_1-u_0\| \\ &\le k^n \frac{1-k^p}{1-k} \|u_1-u_0\| \\&\le \frac{k^n}{1-k}\|u_1-u_0\| \xrightarrow[n\to+\infty]{} 0\end{align} |
&\le \left(k^{n+p-1}+\ldots+k^n \right) \|u_1-u_0\| \\ &\le k^n \frac{1-k^p}{1-k} \|u_1-u_0\| \\&\le \frac{k^n}{1-k}\|u_1-u_0\| \xrightarrow[n\to+\infty]{} 0\end{align}</math><br /> |
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donc <math>(u_n) |
donc <math>(u_n)</math> est de Cauchy et converge vers <math>\ell\in E</math> . En passant à la limite dans <math>u_{n+1} = f(u_n)</math> , on obtient bien que <math>f(\ell) = \ell</math> et que <math>\ell</math> est un point fixe de <math>f</math> . |
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* '''Unicité du point fixe :''' Supposons que <math>x |
* '''Unicité du point fixe :''' Supposons que <math>x</math> et <math>y</math> soient deux points fixes de <math>f</math>. Alors :<br /> |
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<math>\|f(x)-f(y)\| \le k\|x-y\| < \|x-y\| |
<math>\|f(x)-f(y)\| \le k\|x-y\| < \|x-y\|</math> (car <math>k<1</math>) , ce qui est absurde sauf si <math>x=y</math>. |
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Version du 27 octobre 2014 à 11:03
Dans toute la suite, est un espace vectoriel normé (evn).
Définitions
Voici une propriété vraie dans tout evn et qu'on démontre comme dans :
Définition : Espace de Banach
- Un evn est dit complet si, et seulement si, toute suite de Cauchy y est convergente.
- On appelle espace de Banach tout espace vectoriel normé complet.
Théorèmes
Dans tout ce paragraphe, est un espace de Banach (parfois appelé "Banach").
(démonstration à faire)
Théorème : Critère de Cauchy pour les fonctions
Soient et deux Banach, et .
existe dans si, et seulement si :
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(démonstration à faire)
Théorème du point fixe de Banach
Soient un Banach et une application -contractante .
Alors :
- la fonction admet un unique point fixe sur (c'est-à-dire )
- est la limite de toute suite de définie par et .
c'est-à-dire -lipschitzienne avec .
Démonstration
- Existence du point fixe :Puisque est -contractante, on a donc :
. On en déduit par une récurrence facile que :
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puis que :
donc est de Cauchy et converge vers . En passant à la limite dans , on obtient bien que et que est un point fixe de .
- Unicité du point fixe : Supposons que et soient deux points fixes de . Alors :
(car ) , ce qui est absurde sauf si .