On sait alors que <math>\Psi(r,t)=f\left(t-\frac rc\right)+g\left(t+\frac rc\right)</math>
On sait alors que <math>\Psi(r,t)=f\left(t-\frac rc\right)+g\left(t+\frac rc\right)</math>
{{cadre simple|contenu=Les solutions à l'équation de propagation sous les conditions de l'énoncé sont alors de la forme <math>s(r,t)=\frac1r\left(f\left(t-\frac rc\right)+g\left(t+\frac rc\right)\right)</math>}}}}
{{Encadre|contenu=Les solutions à l'équation de propagation sous les conditions de l'énoncé sont alors de la forme <math>s(r,t)=\frac1r\left(f\left(t-\frac rc\right)+g\left(t+\frac rc\right)\right)</math>}}}}
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Exercice : Onde sphérique Ondes électromagnétiques/Exercices/Onde sphérique », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
On considère l'équation de propagation d'une grandeur scalaire s : .
Chercher les solutions correspondant à une onde sphérique de centre O, c'est-à-dire de la forme . On cherchera à déterminer s sous la forme .
Note : Le laplacien en coordonnées sphériques vaut :
Solution
Commençons par calculer le laplacien de s :
Les autres termes du laplacien sont nuls, donc .
De plus, l'équation de propagation donne :
On arrive finalement à l'équation de propagation suivante : .
On sait alors que
Les solutions à l'équation de propagation sous les conditions de l'énoncé sont alors de la forme