« Fonction exponentielle/Croissances comparées » : différence entre les versions

Une page de Wikiversité, la communauté pédagogique libre.
Contenu supprimé Contenu ajouté
mise à jour
mise à jour
Ligne 1 : Ligne 1 :
{{Chapitre
<noinclude>{{Chapitre
| idfaculté = mathématiques
| idfaculté = mathématiques
| leçon = [[Fonction exponentielle]]
| leçon = [[Fonction exponentielle]]
Ligne 6 : Ligne 6 :
| suivant = [[../Dérivée de exp(u)/]]
| suivant = [[../Dérivée de exp(u)/]]
| niveau = 13
| niveau = 13
}}</noinclude>
}}


== Comparaison entre e<sup>''x''</sup> et ''x'' en + ∞ ==
== Comparaison entre e<sup>''x''</sup> et ''x'' en + ∞ ==
Ligne 179 : Ligne 179 :
Quand on a une forme indéterminée impliquant une exponentielle et un polynôme, c’est toujours l’exponentielle qui « l’emporte ».
Quand on a une forme indéterminée impliquant une exponentielle et un polynôme, c’est toujours l’exponentielle qui « l’emporte ».


{{Bas de page | idfaculté = mathématiques
<noinclude>{{Bas de page | idfaculté = mathématiques
| précédent = [[../Étude de la fonction exponentielle/]]
| précédent = [[../Étude de la fonction exponentielle/]]
| suivant = [[../Dérivée de exp(u)/]]
| suivant = [[../Dérivée de exp(u)/]]
}}</noinclude>
}}

Version du 7 septembre 2012 à 13:30

Début de la boite de navigation du chapitre
Croissances comparées
Icône de la faculté
Chapitre no 5
Leçon : Fonction exponentielle
Chap. préc. :Étude de la fonction exponentielle
Chap. suiv. :Dérivée de exp(u)
fin de la boite de navigation du chapitre
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Fonction exponentielle : Croissances comparées
Fonction exponentielle/Croissances comparées
 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Comparaison entre ex et x en + ∞

On a vu que la fonction exp est strictement croissante sur et tend vers quand x tend vers , et qu’elle croît « vite », c'est-à-dire à la vitesse de la suite géométrique (en).

Pour formaliser ceci, on étudie la limite :

qui est une forme indéterminée .


Début d’un théorème
Fin du théorème


Comparaison entre ex et x en - ∞

On a vu que la fonction exp est strictement croissante sur et tend vers 0 quand x tend vers , à la vitesse de la suite géométrique (e-n).

Pour formaliser, on étudie la limite :

qui est une forme indéterminée

Début d’un théorème
Fin du théorème

Preuve:

En posant , on a

Application

Déterminer les limites suivantes :


logo de la faculté
Cette section nécessite des connaissances sur la fonction logarithme. Vous pouvez consulter les cours de Wikiversité à ce sujet.


Extension aux puissances de x

Début d’un théorème
Fin du théorème



Début d’un théorème
Fin du théorème



En résumé

Quand on a une forme indéterminée impliquant une exponentielle et un polynôme, c’est toujours l’exponentielle qui « l’emporte ».