« Topologie générale/Continuité et homéomorphismes » : différence entre les versions

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== Définition de la continuité ==
 
{{Définition
 
| titre = continuité en un point
On dira d'une fonction <math> f </math> de <math> \R </math> dans <math> \R </math> qu'elle est continue en un certain réel <math> a </math> si : <br />
| contenu = Soient <math>(E,\mathcal{T})</math> et <math>(F, \mathcal{T'})</math> deux espaces topologiques et <math>f</math> une application continue de <math>E</math> dans <math>F</math>. Soit <math>A</math> une partie de <math>E</math> et <math>a \in E</math>.<br />
<math> \forall \varepsilon > 0 \quad \exists \eta > 0 \quad \forall x \in \R \quad \Big[|x - a| <\eta \implies |f(x) - f(a)|<\varepsilon\Big] </math>
On diradit d'une fonctionque <math> f </math> deest <math>continue \Rau </math> danspoint <math> \R a</math> qu'elle est continue en un certain réelsuivant <math> a A</math> si : <br />
 
<math>\forall V\in \mathcal{V}(f(a)), \exists U \in \mathcal{V}(a)\text{ tq } f(U\cap A)\subset V</math>
Plus généralement, si on s'intéresse à une fonction f de E (muni de la distance d) à valeurs dans F (muni de la distance d') : <br />
}}
<math>\forall \varepsilon > 0 \quad \exists \eta > 0 \quad \forall x \in E \quad \Big[d(x,a)<\eta \implies d'(f(x),f(a))<\varepsilon\Big]</math>
 
 
Cela signifie , pour une fonction continue en <math> a </math>, que l'on peut s'approcher aussi près que l'on veut de <math> f(a) </math> en s'approchant suffisamment de <math> a </math>.
 
 
== Caractérisation séquentielle ==
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