Espaces vectoriels normés/Espaces de Banach - Complétude

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Dans toute la suite, $(E,\|.\|)\,$ est un espace vectoriel normé (evn).

Définitions

Définition : Suite de Cauchy

Une suite $(u_{n})\,$ d'éléments de $E\,$ est une suite de Cauchy si, et seulement si :

$\forall \varepsilon >0,\;\exists n_{\varepsilon }\in \mathbb {N} |\forall (n,p)\in \mathbb {N} ^{2},n\geq n_{\varepsilon }\Rightarrow \|u_{n+p}-u_{n}\|<\varepsilon \,$

Voici une propriété vraie dans tout evn et qu'on démontre comme dans $\mathbb {R} \,$ :

Propriété

Toute suite convergente est de Cauchy.

Définition : Espace de Banach

• Un evn est dit complet si, et seulement si, toute suite de Cauchy y est convergente.
• On appelle espace de Banach tout espace vectoriel normé complet.

Théorèmes

Dans tout ce paragraphe, $(E,\|.\|)\,$ est un espace de Banach (parfois appelé "Banach").

Début d’un théorème

Théorème des fermés emboîtés

Soit $(F_{n})\,$ une suite de fermés de $E\,$ .
Si :

• $\forall n\in \mathbb {N} ,\;F_{n+1}\subset F_{n}\mathrm {\;et\;} F_{n}\neq \varnothing \,$
• $\lim _{n\to +\infty }\left(\sup _{x,y\in F_{n}}\|x-y\|\right)=0\,$

alors

$\exists !x\in E\;|\;\bigcap _{n\in \mathbb {N} }F_{n}=\{x\}\,$

Fin du théorème

(démonstration à faire)

Début d’un théorème

Théorème : Critère de Cauchy pour les fonctions

Soient $E\,$ et $F\,$ deux Banach, $f:A\subset E\to F\,$ et $a\in {\bar {A}}\,$.
$\lim _{x\to a}f(x)\,$ existe dans $F\,$ si, et seulement si :

$\forall \varepsilon >0,\;\exists \delta _{\varepsilon }>0|\forall x,y\in A,\|x-y\|<\delta _{\varepsilon }\Rightarrow \|f(x)-f(y)\|<\varepsilon \,$

Fin du théorème

(démonstration à faire)

Début d’un théorème

Théorème du point fixe de Banach

Soient $E\,$ un Banach et $f:E\to E\,$ une application $k\,$-contractante$\,^{(1)}\,$ .
Alors :

• la fonction $f\,$ admet un unique point fixe $\ell \,$ sur $E\,$ (c'est-à-dire $\exists !\ell \in E\;|\;f(\ell )=\ell \,$ )
• $\ell \,$ est la limite de toute suite $(u_{n})\,$ de $E\,$ définie par $u_{0}\in E\,$ et $u_{n+1}=f(u_{n})\,$ .
  

$(1)$ c'est-à-dire $k$-lipschitzienne avec $|k|<1$.

Fin du théorème

Démonstration

• Existence du point fixe :Puisque $f\,$ est $k\,$-contractante, on a donc :
  

$\|u_{n+1}-u_{n}\|=\|f(u_{n})-f(u_{n-1})\|\leq k\|u_{n}-u_{n-1}\|\,$ . On en déduit par une récurrence facile que :

$\|u_{n+1}-u_{n}\|\leq k^{n}\|u_{1}-u_{0}\|\,$

puis que :
$\forall (n,p)\in \mathbb {N} ^{2}\,$
${\begin{aligned}\|u_{n+p}-u_{n}\|&\leq \|u_{n+p}-u_{n+p-1}\|+\ldots +\|u_{n+1}-u_{n}\|\\&\leq \left(k^{n+p-1}+\ldots +k^{n}\right)\|u_{1}-u_{0}\|\\&\leq k^{n}{\frac {1-k^{p}}{1-k}}\|u_{1}-u_{0}\|\\&\leq {\frac {k^{n}}{1-k}}\|u_{1}-u_{0}\|{\xrightarrow[{n\to +\infty }]{}}0\end{aligned}}\,$
donc $(u_{n})\,$ est de Cauchy et converge vers $\ell \in E\,$ . En passant à la limite dans $u_{n+1}=f(u_{n})\,$ , on obtient bien que $f(\ell )=\ell \,$ et que $\ell \,$ est un point fixe de $f\,$ .

• Unicité du point fixe : Supposons que $x\,$ et $y\,$ soient deux points fixes de $f\,$. Alors :
  

$\|f(x)-f(y)\|\leq k\|x-y\|<\|x-y\|\,$ (car $k<1\,$) , ce qui est absurde sauf si $x=y\,$.