« Espaces vectoriels normés/Exercices/Applications linéaires continues » : différence entre les versions
Contenu supprimé Contenu ajouté
m Robot : Remplacement de texte automatisé (-numero +numéro) |
→Exercice : relecture |
||
Ligne 25 : | Ligne 25 : | ||
* La linéarité de l'intégrale assure la linéarité de φ. |
* La linéarité de l'intégrale assure la linéarité de φ. |
||
* Soit <math>f\in E</math> |
* Soit <math>f\in E</math> |
||
<math>|\varphi(f)|=\left|\int_{-1}^1\frac{t\,f(t)}{1+t^2}\mathrm dt\right|</math> |
:<math>|\varphi(f)|=\left|\int_{-1}^1\frac{t\,f(t)}{1+t^2}\mathrm dt\right|</math> |
||
:Donc <math>|\varphi(f)|\leq\int_{-1}^1\frac{|t\,f(t)|}{1+t^2}\mathrm dt\leq||f||_\infty\ |
:Donc <math>|\varphi(f)|\leq\int_{-1}^1\frac{|t\,f(t)|}{1+t^2}\mathrm dt\leq||f||_\infty\int_0^1\frac{2t}{1+t^2}\mathrm dt</math> |
||
:Donc <math>|\varphi(f)|\leq\ln(2)||f||_\infty</math> |
:Donc <math>|\varphi(f)|\leq\ln(2)||f||_\infty</math> |
||
Ligne 36 : | Ligne 36 : | ||
* affine sur <math>\left[-\frac1n;\frac1n\right]</math> |
* affine sur <math>\left[-\frac1n;\frac1n\right]</math> |
||
On montre que <math>|\varphi(f_n)|\ |
On montre que <math>|\varphi(f_n)|\longrightarrow_{n \rightarrow + \infty}\ln(2)</math> |
||
{{cadre simple|contenu=Finalement <math>|||\varphi|||=\ln(2)</math>}}}} |
{{cadre simple|contenu=Finalement <math>|||\varphi|||=\ln(2)</math>}}}} |
Version du 3 juin 2012 à 00:37
Exercice
Montrer que et calculer |||φ|||.
Solution
- La linéarité de l'intégrale assure la linéarité de φ.
- Soit
- Donc
- Donc
et
On pose pour tout la fonction fn de E définie par :
- qui vaut -1 sur
- qui vaut 1 sur
- affine sur
On montre que
Finalement