« Systèmes de Cramer/Pivot de Gauss » : différence entre les versions
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Numériquement, l'implémentation sur ordinateur de cet algorithme donne généralement de ''mauvais'' résultats (même s'il est rapide) : les erreurs d'arrondi se cumulent et faussent généralement la solution. Néanmoins, il n'utilise que des additions et multiplications, ce qui en fait le meilleur du point de vue du rapport simplicité/efficacité disponible en calcul manuel. |
Numériquement, l'implémentation sur ordinateur de cet algorithme donne généralement de ''mauvais'' résultats (même s'il est rapide) : les erreurs d'arrondi se cumulent et faussent généralement la solution. Néanmoins, il n'utilise que des additions et multiplications, ce qui en fait le meilleur du point de vue du rapport simplicité/efficacité disponible en calcul manuel. |
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==Methode de résolution & exemple == |
== Methode de résolution & exemple == |
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Version du 23 décembre 2011 à 21:00
Introduction
La méthode du « pivot de Gauss », ou « élimination de Gauss-Jordan », est un algorithme efficace permettant de résoudre — lorsque c'est possible — un système d'équations linéaires.
Numériquement, l'implémentation sur ordinateur de cet algorithme donne généralement de mauvais résultats (même s'il est rapide) : les erreurs d'arrondi se cumulent et faussent généralement la solution. Néanmoins, il n'utilise que des additions et multiplications, ce qui en fait le meilleur du point de vue du rapport simplicité/efficacité disponible en calcul manuel.
Methode de résolution & exemple
L'objectif du pivot de Gauss est de ramener le système d'équations linéaires à un système étagé (dont on sait qu'il est soluble), c'est-à-dire de la forme « triangulaire » suivante :
Il suffit en effet d'en déduire z avec la dernière ligne, de le remplacer par sa valeur dans la ligne au-dessus, d'en déduire y, de le remplacer par sa valeur dans la ligne au-dessus, d'en déduire x... et c'est fini ! La résolution est complètement machinale une fois que le système est mis sous cette forme.
Voyons maintenant comment s'y prendre :
Définition: Élimination de Gauss
Pour décrire l'algorithme, nous allons prendre un exemple, plutôt qu'une définition formelle :
- Étape 1 : choix du pivot : on choisit un « pivot », c'est-à-dire l'un des monômes du système. Le premier pivot est le premier monôme de la première ligne, le second est le second monôme de la seconde ligne, etc. On commence donc avec « x » pour pivot.
- Étape 2 : élimination : on soustrait aux lignes suivantes la ligne du pivot un nombre suffisant de fois pour que tous les termes en « x » (1er pivot), en « y » (2e pivot) etc. s'annulent. Dans notre exemple, la première étape :
Il faut soustraire 3 fois la première ligne (ligne du pivot) à la seconde, et 2 fois la première ligne à la troisième. Cela donne :
- Retour à l'étape 1 puis Retour à l'étape 2: éliminationavec le pivot suivant(pivot: "y")
«» on obtient ainsi le système d'équation en forme triangulaire:
On en déduit z = 3, puis y = 2, puis x = 1. On vérifie que ce triplet est solution.
Remarques
Il y a un ordre précis dans le choix du pivot. Ne pas le respecter peut amener à des résultats aberrants. |
Il existe une variante : une fois le système étagé, on repart à partir de la dernière ligne pour éliminer les termes en z, puis de l'avant dernière pour éliminer les termes en y etc. on aboutit ainsi à un système diagonal, dont les solutions sont immédiates.