Polynôme/Exercices/Racines de polynômes

Exercice 1

Trouver tous les polynômes $P$ tels que $P(X^{2})=P(X)P(X+1)$.

Solution

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Exercice 2

On note $E_{n}$ l'ensemble des polynômes unitaires de degré $n$ de $\mathbb {Z} [X]$ dont les racines ont leur module inférieur ou égal à 1.

1. Montrer que $E$ est fini.
2. Soit $P=\prod _{k=1}^{n}(X-x_{k})$ un élément de $E_{n}$. On note $P'$ le polynôme $\prod _{k=1}^{n}(X-x_{k}^{2})$. Montrer que $P'\in E_{n}$.
3. Montrer que les racines des éléments de $E_{n}$ sont des racines de l'unité.

Solution

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