« Topologie générale/Continuité et homéomorphismes » : différence entre les versions
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f est continue en <math> a </math> si pour tout suite <math> a_n </math> convergeant vers <math> a </math>, la suite <math> f(a_n) </math> converge vers <math> f(a) </math>. |
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[[Catégorie:Topologie générale]] |
Version du 27 août 2011 à 14:19
Approche intuitive et historique
Au lycée, on dit d'une fonction qu'elle est continue si on peut la tracer sans lever le crayon. Mais considérons une courbe de longueur infinie : impossible de la tracer avec un crayon !
La notion de continuité s'est clarifiée au XIXe siècle, grâce notamment aux travaux de Cauchy.
Définition de la continuité
On dira d'une fonction de dans qu'elle est continue en un certain réel si :
Plus généralement, si on s'intéresse à une fonction f de E (muni de la distance d) à valeurs dans F (muni de la distance d') :
Cela signifie , pour une fonction continue en , que l'on peut s'approcher aussi près que l'on veut de en s'approchant suffisamment de .
Caractérisation séquentielle
Si on admet l'axiome de choix, on dispose d'une propriété équivalente à la définition de la continuité, et qui est bien plus facile à mettre en œuvre lors des exercices :
f est continue en si pour tout suite convergeant vers , la suite converge vers .