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Dans toute la suite, est un espace vectoriel normé (evn).
Définitions
Définition : Suite de Cauchy
Une suite d'éléments de est une suite de Cauchy si, et seulement si :
Voici une propriété vraie dans tout evn et qu'on démontre comme dans :
Propriété
Toute suite convergente est de Cauchy.
Définition : Espace de Banach
Un evn est dit complet si, et seulement si, toute suite de Cauchy y est convergente.
On appelle espace de Banach tout espace vectoriel normé complet.
Théorèmes
Dans tout ce paragraphe, est un espace de Banach (parfois appelé "Banach").
Début d’un théorème
Théorème des fermés emboîtés
Soit une suite de fermés de .
Si :
alors
Fin du théorème
(démonstration à faire)
Début d’un théorème
Théorème : Critère de Cauchy pour les fonctions
Soient et deux Banach, et . existe dans si, et seulement si :
Fin du théorème
(démonstration à faire)
Début d’un théorème
Théorème du point fixe de Banach
Soient un Banach et une application -contractante .
Alors :
la fonction admet un unique point fixe sur (c'est-à-dire )
est la limite de toute suite de définie par et .
c'est-à-dire -lipschitzienne avec .
Fin du théorème
Démonstration
Existence du point fixe :Puisque est -contractante, on a donc :
. On en déduit par une récurrence facile que :
puis que :
donc est de Cauchy et converge vers . En passant à la limite dans , on obtient bien que et que est un point fixe de .
Unicité du point fixe : Supposons que et soient deux points fixes de . Alors :