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'''1. Étudier les variations de ƒ.''' |
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:ƒ est dérivable sur <math>[0;+\infty[</math> et, pour tout <math>x\in[0;+\infty[</math> : |
:ƒ est dérivable sur <math>[0;+\infty[</math> et, pour tout <math>x\in[0;+\infty[</math> : |
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<math>f'(x)=-1-(-1)\times e^{-x}=e^{-x}-1</math> |
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Or, pour tout <math>x\in[0;+\infty[,~e^{-x}\leq 1</math> donc <math>f'(x)\leq 0</math> |
Or, pour tout <math>x\in[0;+\infty[,~e^{-x}\leq 1</math> donc <math>f'(x)\leq 0</math> |
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Si on pose <math>g:x\mapsto -x+\frac52</math>, définie sur <math>\R</math> et de représentation graphique <math>\mathcal D</math>, on a : |
Si on pose <math>g:x\mapsto -x+\frac52</math>, définie sur <math>\R</math> et de représentation graphique <math>\mathcal D</math>, on a : |
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<math>\lim_{x\to+\infty} f(x)-g(x)=0</math> |
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{{cadre simple|contenu=Donc <math>\mathcal C</math> a pour asymptote la droite <math>\mathcal D</math> d'équation <math>y=-x+\frac52</math>}} |
{{cadre simple|contenu=Donc <math>\mathcal C</math> a pour asymptote la droite <math>\mathcal D</math> d'équation <math>y=-x+\frac52</math>}} |
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'''5. Déterminer une équation de la tangente à <math>\mathcal C</math> au point d'abscisse 2.''' |
'''5. Déterminer une équation de la tangente à <math>\mathcal C</math> au point d'abscisse 2.''' |
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:D'après le [[Fonction dérivée|cours sur la dérivation]], [[Fonction dérivée/Équation d'une tangente|l'équation de la tangente]] à <math>\mathcal C</math> au point d'abscisse 2 est : |
:D'après le [[Fonction dérivée|cours sur la dérivation]], [[Fonction dérivée/Équation d'une tangente|l'équation de la tangente]] à <math>\mathcal C</math> au point d'abscisse 2 est : |
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<math>\begin{align} |
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y&=f(2)+f'(2)\cdot(x-2)\\ |
y&=f(2)+f'(2)\cdot(x-2)\\ |
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&=-2+\frac52-e^{-2}+(-1+e^{-2})\cdot(x-2)\\ |
&=-2+\frac52-e^{-2}+(-1+e^{-2})\cdot(x-2)\\ |
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'''1. Étudier les variations de ƒ.''' |
'''1. Étudier les variations de ƒ.''' |
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:ƒ est dérivable sur <math>[0;+\infty[</math> et, pour tout <math>x\in[0;+\infty[</math> : |
:ƒ est dérivable sur <math>[0;+\infty[</math> et, pour tout <math>x\in[0;+\infty[</math> : |
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<math>f'(x)=2+2\times(-1)e^{-x}=2(1-e^{-x})</math> |
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Or, pour tout <math>x\in[0;+\infty[,~e^{-x}\leq 1</math> donc <math>f'(x)\geq 0</math> |
Or, pour tout <math>x\in[0;+\infty[,~e^{-x}\leq 1</math> donc <math>f'(x)\geq 0</math> |
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Ligne 111 : | Ligne 111 : | ||
Si on pose <math>g:x\mapsto 2x-\frac52</math>, définie sur <math>\R</math> et de représentation graphique <math>\mathcal D</math>, on a : |
Si on pose <math>g:x\mapsto 2x-\frac52</math>, définie sur <math>\R</math> et de représentation graphique <math>\mathcal D</math>, on a : |
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<math>\lim_{x\to+\infty} f(x)-g(x)=0</math> |
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{{cadre simple|contenu=Donc <math>\mathcal C</math> a pour asymptote la droite <math>\mathcal D</math> d'équation <math>y=2x-\frac52</math>}} |
{{cadre simple|contenu=Donc <math>\mathcal C</math> a pour asymptote la droite <math>\mathcal D</math> d'équation <math>y=2x-\frac52</math>}} |
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'''5. Déterminer une équation de la tangente à <math>\mathcal C</math> au point d'abscisse 2.''' |
'''5. Déterminer une équation de la tangente à <math>\mathcal C</math> au point d'abscisse 2.''' |
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:D'après le [[Fonction dérivée|cours sur la dérivation]], [[Fonction dérivée/Équation d'une tangente|l'équation de la tangente]] à <math>\mathcal C</math> au point d'abscisse 2 est : |
:D'après le [[Fonction dérivée|cours sur la dérivation]], [[Fonction dérivée/Équation d'une tangente|l'équation de la tangente]] à <math>\mathcal C</math> au point d'abscisse 2 est : |
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<math>\begin{align} |
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y&=f(2)+f'(2)\cdot(x-2)\\ |
y&=f(2)+f'(2)\cdot(x-2)\\ |
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&=2\times2-\frac52+2e^{-2}+2(1-e^{-2})(x-2)\\ |
&=2\times2-\frac52+2e^{-2}+2(1-e^{-2})(x-2)\\ |
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'''2.''' Démontrer que ƒ<sub>''λ''</sub> est paire, c'est-à-dire pour tout <math>x\in\R,~f_{\lambda}(-x)=f_{\lambda}(x)</math>. |
'''2.''' Démontrer que ƒ<sub>''λ''</sub> est paire, c'est-à-dire pour tout <math>x\in\R,~f_{\lambda}(-x)=f_{\lambda}(x)</math>. |
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:Soit <math>x\in\R</math> |
:Soit <math>x\in\R</math> |
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<math>\begin{align} |
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f_{\lambda}(-x)&=\frac{e^{\lambda (-x)}+e^{-\lambda (-x)}}{2\lambda}\\ |
f_{\lambda}(-x)&=\frac{e^{\lambda (-x)}+e^{-\lambda (-x)}}{2\lambda}\\ |
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&=\frac{e^{-\lambda x}+e^{\lambda x}}{2\lambda} |
&=\frac{e^{-\lambda x}+e^{\lambda x}}{2\lambda} |
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Ligne 260 : | Ligne 260 : | ||
'''3.''' Étudier les variations de ƒ<sub>''λ''</sub> et déterminer sa limite en <math>+\infty</math>. |
'''3.''' Étudier les variations de ƒ<sub>''λ''</sub> et déterminer sa limite en <math>+\infty</math>. |
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:ƒ<sub>''λ''</sub> est dérivable et, pour tout <math>x\in\R</math> : |
:ƒ<sub>''λ''</sub> est dérivable et, pour tout <math>x\in\R</math> : |
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<math>\begin{align} |
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f_{\lambda}'(x)&=\frac{\lambda e^{\lambda x}+(-\lambda)e^{-\lambda x}}{2\lambda}\\ |
f_{\lambda}'(x)&=\frac{\lambda e^{\lambda x}+(-\lambda)e^{-\lambda x}}{2\lambda}\\ |
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&=\frac{e^{\lambda x}-e^{-\lambda x}}2\\ |
&=\frac{e^{\lambda x}-e^{-\lambda x}}2\\ |
Version du 8 janvier 2011 à 16:46
Un certain nombre d'études de fonctions ne peuvent se faire sans le théorème de dérivation d'une composée par une fonction affine (niveau 11).
Exercice 1
ƒ est la fonction définie sur par :
- pour tout .
1. Étudier les variations de ƒ.
2. Étudier la limite de ƒ en .
3. Démontrer que la courbe représentative de ƒ admet une asymptote oblique dont on donnera une équation.
4. Étudier les positions relatives de et .
5. Déterminer une équation de la tangente à au point d'abscisse 2.
1. Étudier les variations de ƒ.
- ƒ est dérivable sur et, pour tout :
Or, pour tout donc
On en déduit que ƒ est décroissante.
2. Étudier la limite de ƒ en .
Donc
3. Démontrer que la courbe représentative de ƒ admet une asymptote oblique
On remarque que l'expression de ƒ admet deux membres :
- une partie affine :
- une partie qui tend vers 0 :
Si on pose , définie sur et de représentation graphique , on a :
Donc a pour asymptote la droite d'équation
4. Étudier les positions relatives de et .
- Pour tout , grandeur négative.
Donc est en-dessous de son asymptote
5. Déterminer une équation de la tangente à au point d'abscisse 2.
- D'après le cours sur la dérivation, l'équation de la tangente à au point d'abscisse 2 est :
Donc la tangente à au point d'abscisse 2 a pour équation
Exercice 2
ƒ est la fonction définie sur par :
- pour tout .
1. Étudier les variations de ƒ.
2. Étudier la limite de ƒ en .
3. Démontrer que la courbe représentative de ƒ admet une asymptote oblique dont on donnera une équation.
4. Étudier les positions relatives de et .
5. Déterminer une équation de la tangente à au point d'abscisse 2.
1. Étudier les variations de ƒ.
- ƒ est dérivable sur et, pour tout :
Or, pour tout donc
On en déduit que ƒ est croissante.
2. Étudier la limite de ƒ en .
Donc
3. Démontrer que la courbe représentative de ƒ admet une asymptote oblique
On remarque que l'expression de ƒ admet deux membres :
- une partie affine :
- une partie qui tend vers 0 :
Si on pose , définie sur et de représentation graphique , on a :
Donc a pour asymptote la droite d'équation
4. Étudier les positions relatives de et .
- Pour tout , grandeur positive.
Donc est au-dessus de son asymptote
5. Déterminer une équation de la tangente à au point d'abscisse 2.
- D'après le cours sur la dérivation, l'équation de la tangente à au point d'abscisse 2 est :
Donc la tangente à au point d'abscisse 2 a pour équation
Exercice 3
Calculer la fonction dérivée des fonctions suivantes.
1.
2.
3.
Ces trois fonctions sont définies et dérivables sur .
1.
- Cette fonction se dérive comme un produit.
- On pose sur les fonctions et
- Leurs dérivées sont définies par et
- Finalement, pour tout
2.
- Cette fonction peut se dériver comme un quotient, mais une manipulation élémentaire permet de tout ramener au numérateur et ainsi simplifier le calcul de la dérivée.
- On remarque que pour tout
- On pose sur les fonctions et
- Leurs dérivées sont définies par et
- Finalement, pour tout
3.
- On va utiliser ce théorème de niveau 11
- On pose sur les fonctions et
- Leurs dérivées sont définies par et
- Finalement, pour tout
Exercice 4
Calculer la fonction dérivée des fonctions suivantes.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
1.
- On pose sur les fonctions et
- Leurs dérivées sont définies par et
- Finalement, pour tout
2.
- On pose sur les fonctions et
- Leurs dérivées sont définies par et
- Finalement, pour tout
3.
- On pose sur les fonctions et
- Leurs dérivées sont définies par et
- Finalement, pour tout
4.
- On pose sur la fonction
- Sa dérivée est définie par
- Comme , on a pour tout
5.
- Pour tout
6.
- On pose sur les fonctions et
- Leurs dérivées sont définies par et
- Finalement, pour tout
7.
- On pose sur les fonctions et
- Leurs dérivées sont définies par et
- Finalement, pour tout
Exercice 5
Pour tout réel λ > 0, on note ƒλ la fonction définie sur par :
- pour tout
1. Tracer sur calculatrice la courbe représentative de ƒλ pour λ = 0,5 et pour λ = 3.
2. Démontrer que ƒλ est paire, c'est-à-dire pour tout .
3. Étudier les variations de ƒλ et déterminer sa limite en .
1. Tracer sur calculatrice la courbe représentative de ƒλ pour λ = 0,5 et pour λ = 3.
2. Démontrer que ƒλ est paire, c'est-à-dire pour tout .
- Soit
Donc ƒλ est paire.
3. Étudier les variations de ƒλ et déterminer sa limite en .
- ƒλ est dérivable et, pour tout :
On déduit de cette expression le tableau de signes de ƒλ', donc les variations de ƒλ.
- Comme et , on a
- Comme et , on a