« Fonction exponentielle/Croissances comparées » : différence entre les versions
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On a : |
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<math>\phi'(x)=e^x-x\,</math> |
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et |
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<math>\phi''(x)=e^x-1\,</math> |
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Sur <math>[0;+\infty[</math> ,comme <math>e^x\geq 1</math> donc <math>\phi''(x)\geq 0</math>, donc <math>\phi'</math> est croissante sur <math>[0;+\infty[</math>. |
Sur <math>[0;+\infty[</math> ,comme <math>e^x\geq 1</math> donc <math>\phi''(x)\geq 0</math>, donc <math>\phi'</math> est croissante sur <math>[0;+\infty[</math>. |
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On en déduit avec l'expression de <math>\phi(x)=e^x-\frac{1}{2}x^2</math>, que sur <math>[0;+\infty[</math> : |
On en déduit avec l'expression de <math>\phi(x)=e^x-\frac{1}{2}x^2</math>, que sur <math>[0;+\infty[</math> : |
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<math>e^x-\frac{1}{2}x^2 \geq 0</math> |
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donc: |
donc: |
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<math>e^x\geq \frac{1}{2}x^2</math> |
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donc : |
donc : |
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<math>\frac{e^x}{x}\geq \frac{1}{2}x\,</math>. |
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Or <math>\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{2}x=+\infty\,</math> donc par comparaison, <math>\lim_{x \to +\infty}\frac{e^x}{x}=+\infty\,</math>}} |
Or <math>\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{2}x=+\infty\,</math> donc par comparaison, <math>\lim_{x \to +\infty}\frac{e^x}{x}=+\infty\,</math>}} |
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Ligne 118 : | Ligne 118 : | ||
* Soit <math>x\in\R</math>. |
* Soit <math>x\in\R</math>. |
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* On a |
* On a |
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<math>\begin{align} |
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(x^2+1)e^x&=((-X)^2+1)e^{-X}\\ |
(x^2+1)e^x&=((-X)^2+1)e^{-X}\\ |
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&=\frac{X^2+1}{e^X}\\ |
&=\frac{X^2+1}{e^X}\\ |
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Ligne 139 : | Ligne 139 : | ||
* <math>\lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}{x^2+1}</math> |
* <math>\lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}{x^2+1}</math> |
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{{Solution|contenu=Soit <math>x\in\R</math> : |
{{Solution|contenu=Soit <math>x\in\R</math> : |
||
<math>\begin{align} |
|||
\ln\left(\frac{e^x}{x^2+1}\right)&=x-\ln(x^2+1)\\ |
\ln\left(\frac{e^x}{x^2+1}\right)&=x-\ln(x^2+1)\\ |
||
&=x-\ln\left(x^2\left(1+\frac1{x^2}\right)\right)\\ |
&=x-\ln\left(x^2\left(1+\frac1{x^2}\right)\right)\\ |
||
Ligne 154 : | Ligne 154 : | ||
* <math>\lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}{\sqrt x}</math> |
* <math>\lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}{\sqrt x}</math> |
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{{Solution|contenu=Soit <math>x\in[0;+\infty[</math> : |
{{Solution|contenu=Soit <math>x\in[0;+\infty[</math> : |
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<math>\begin{align} |
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\ln\left(\frac{e^x}{\sqrt x}\right)&=x-\ln(\sqrt x)\\ |
\ln\left(\frac{e^x}{\sqrt x}\right)&=x-\ln(\sqrt x)\\ |
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&=x-\frac12\ln(x)\\ |
&=x-\frac12\ln(x)\\ |
Version du 8 janvier 2011 à 16:15
Comparaison entre ex et x en + ∞
On a vu que la fonction exp est strictement croissante sur et tend vers quand x tend vers , et qu’elle croît « vite », c'est-à-dire à la vitesse de la suite géométrique (en).
Pour formaliser ceci, on étudie la limite :
qui est une forme indéterminée .
On étudie sur la fonction .
On a :
et
Sur ,comme donc , donc est croissante sur .
Or donc sur , donc est croissante sur .
Or donc sur
On en déduit avec l'expression de , que sur :
donc:
donc :
.
Or donc par comparaison,
Comparaison entre ex et x en - ∞
On a vu que la fonction exp est strictement croissante sur et tend vers 0 quand x tend vers , à la vitesse de la suite géométrique (e-n).
Pour formaliser, on étudie la limite :
qui est une forme indéterminée
Preuve:
En posant , on a
Application
Déterminer les limites suivantes :
- Donc
- Pour tout
- Or,
- De plus,
- Donc
Pour tout .
- Pour tout , on pose
- On a alors pour tout .
- On sait que
- Donc
- De plus,
- Donc
On pose .
- Pour tout
- On sait que
- Donc .
- Pour tout
- On a
- De plus,
- Donc
Pour tout , on pose .
- Soit .
- On a
- On sait que
- et que
- Donc
- Pour tout
- On a montré plus haut que
- Donc
Soit :
- Donc
- De plus,
- Donc
Soit :
- Donc
- De plus,
- Donc
Extension aux puissances de x
En résumé
Quand on a une forme indéterminée impliquant une exponentielle et un polynôme, c’est toujours l’exponentielle qui « l’emporte ».