« Fonction exponentielle/Croissances comparées » : différence entre les versions

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On a :
On a :


:<math>\phi'(x)=e^x-x\,</math>
<math>\phi'(x)=e^x-x\,</math>


et
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:<math>\phi''(x)=e^x-1\,</math>
<math>\phi''(x)=e^x-1\,</math>


Sur <math>[0;+\infty[</math> ,comme <math>e^x\geq 1</math> donc <math>\phi''(x)\geq 0</math>, donc <math>\phi'</math> est croissante sur <math>[0;+\infty[</math>.
Sur <math>[0;+\infty[</math> ,comme <math>e^x\geq 1</math> donc <math>\phi''(x)\geq 0</math>, donc <math>\phi'</math> est croissante sur <math>[0;+\infty[</math>.
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On en déduit avec l'expression de <math>\phi(x)=e^x-\frac{1}{2}x^2</math>, que sur <math>[0;+\infty[</math> :
On en déduit avec l'expression de <math>\phi(x)=e^x-\frac{1}{2}x^2</math>, que sur <math>[0;+\infty[</math> :


:<math>e^x-\frac{1}{2}x^2 \geq 0</math>
<math>e^x-\frac{1}{2}x^2 \geq 0</math>


donc:
donc:


:<math>e^x\geq \frac{1}{2}x^2</math>
<math>e^x\geq \frac{1}{2}x^2</math>


donc :
donc :


:<math>\frac{e^x}{x}\geq \frac{1}{2}x\,</math>.
<math>\frac{e^x}{x}\geq \frac{1}{2}x\,</math>.


Or <math>\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{2}x=+\infty\,</math> donc par comparaison, <math>\lim_{x \to +\infty}\frac{e^x}{x}=+\infty\,</math>}}
Or <math>\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{2}x=+\infty\,</math> donc par comparaison, <math>\lim_{x \to +\infty}\frac{e^x}{x}=+\infty\,</math>}}
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* Soit <math>x\in\R</math>.
* Soit <math>x\in\R</math>.
* On a
* On a
:<math>\begin{align}
<math>\begin{align}
(x^2+1)e^x&=((-X)^2+1)e^{-X}\\
(x^2+1)e^x&=((-X)^2+1)e^{-X}\\
&=\frac{X^2+1}{e^X}\\
&=\frac{X^2+1}{e^X}\\
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* <math>\lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}{x^2+1}</math>
* <math>\lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}{x^2+1}</math>
{{Solution|contenu=Soit <math>x\in\R</math> :
{{Solution|contenu=Soit <math>x\in\R</math> :
:<math>\begin{align}
<math>\begin{align}
\ln\left(\frac{e^x}{x^2+1}\right)&=x-\ln(x^2+1)\\
\ln\left(\frac{e^x}{x^2+1}\right)&=x-\ln(x^2+1)\\
&=x-\ln\left(x^2\left(1+\frac1{x^2}\right)\right)\\
&=x-\ln\left(x^2\left(1+\frac1{x^2}\right)\right)\\
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* <math>\lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}{\sqrt x}</math>
* <math>\lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}{\sqrt x}</math>
{{Solution|contenu=Soit <math>x\in[0;+\infty[</math> :
{{Solution|contenu=Soit <math>x\in[0;+\infty[</math> :
:<math>\begin{align}
<math>\begin{align}
\ln\left(\frac{e^x}{\sqrt x}\right)&=x-\ln(\sqrt x)\\
\ln\left(\frac{e^x}{\sqrt x}\right)&=x-\ln(\sqrt x)\\
&=x-\frac12\ln(x)\\
&=x-\frac12\ln(x)\\

Version du 8 janvier 2011 à 16:15

Début de la boite de navigation du chapitre
Croissances comparées
Icône de la faculté
Chapitre no {{{numéro}}}
Leçon : Fonction exponentielle
Chap. préc. :Étude de la fonction exponentielle
Chap. suiv. :Dérivée de exp(u)
fin de la boite de navigation du chapitre
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Fonction exponentielle/Croissances comparées
 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Comparaison entre ex et x en + ∞

On a vu que la fonction exp est strictement croissante sur et tend vers quand x tend vers , et qu’elle croît « vite », c'est-à-dire à la vitesse de la suite géométrique (en).

Pour formaliser ceci, on étudie la limite :

qui est une forme indéterminée .


Début d’un théorème
Fin du théorème


Comparaison entre ex et x en - ∞

On a vu que la fonction exp est strictement croissante sur et tend vers 0 quand x tend vers , à la vitesse de la suite géométrique (e-n).

Pour formaliser, on étudie la limite :

qui est une forme indéterminée

Début d’un théorème
Fin du théorème

Preuve:

En posant , on a

Application

Déterminer les limites suivantes :


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Cette section nécessite des connaissances sur la fonction logarithme. Vous pouvez consulter les cours de Wikiversité à ce sujet.


Extension aux puissances de x

Début d’un théorème
Fin du théorème



Début d’un théorème
Fin du théorème



En résumé

Quand on a une forme indéterminée impliquant une exponentielle et un polynôme, c’est toujours l’exponentielle qui « l’emporte ».