« Géométrie symplectique/Géométrie symplectique linéaire » : différence entre les versions

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** Si ''a'' est la forme nulle, alors le noyau de ''a'' est ''E'' ; et toute base de ''E'' convient. Sinon, fixons un vecteur ''X''₁ de ''E'' qui ne soit pas dans le noyau de ''a''. Choississons un vecteur ''Y''₁ tel que ''a''(''X''₁,''Y''₁) soit non nul. Quitte à modifier ''Y''₁ en ''Y''₁/''a''(''X''₁,''Y''₁), on est en droit de supposer ''a''(''X''₁,''Y''₁)=1. Les vecteurs ''X''₁ et ''Y''₁ sont non colinéaires et engendrent donc un plan vectoriel ''P''.
** Si ''a'' est la forme nulle, alors le noyau de ''a'' est ''E'' ; et toute base de ''E'' convient. Sinon, fixons un vecteur ''X''₁ de ''E'' qui ne soit pas dans le noyau de ''a''. Choississons un vecteur ''Y''₁ tel que ''a''(''X''₁,''Y''₁) soit non nul. Quitte à modifier ''Y''₁ en ''Y''₁/''a''(''X''₁,''Y''₁), on est en droit de supposer ''a''(''X''₁,''Y''₁)=1. Les vecteurs ''X''₁ et ''Y''₁ sont non colinéaires et engendrent donc un plan vectoriel ''P''.


**L'ensemble des vecteurs ''v'' vérifiant <math>a(X_1,v)=a(Y_1,v)=0</math> est un sous-espace vectoriel Q de ''E''. Tout vecteur ''w'' peut s'écrire :
** L'ensemble des vecteurs ''v'' vérifiant <math>a(X_1,v)=a(Y_1,v)=0</math> est un sous-espace vectoriel Q de ''E''. Tout vecteur ''w'' peut s'écrire :
::<math>w=w_P+w_Q</math> où <math>\scriptstyle w_p=a(X_1,w)Y_1+a(w,Y_1)X_1\in P</math> et <math>w_Q\in Q</math>.
::<math>w=w_P+w_Q</math> où <math>\scriptstyle w_p=a(X_1,w)Y_1+a(w,Y_1)X_1\in P</math> et <math>w_Q\in Q</math>.


**En particulier, ''P'' et ''Q'' sont supplémentaires. Le noyau de ''a'' est évidemment contenu dans ''Q''. Appliquons l'hypothèse de récurrence à la restriction ''b'' de ''a'' à ''Q''. Il existe une base <math>\scriptstyle Z_1,\dots,Z_r</math> du noyau de ''b'', étendue en une base <math>\scriptstyle X_2, \dots,X_n,Y_2,\dots,Y_n, Z_1,\dots Z_r</math> vérifiant les identités <math>a(X_i,X_j)=0</math>, <math> a(X_i,Y_j=\delta_{ij}</math> et <math>a(Y_i,Y_j)=0</math>.
** En particulier, ''P'' et ''Q'' sont supplémentaires. Le noyau de ''a'' est évidemment contenu dans ''Q''. Appliquons l'hypothèse de récurrence à la restriction ''b'' de ''a'' à ''Q''. Il existe une base <math>\scriptstyle Z_1,\dots,Z_r</math> du noyau de ''b'', étendue en une base <math>\scriptstyle X_2, \dots,X_n,Y_2,\dots,Y_n, Z_1,\dots Z_r</math> vérifiant les identités <math>a(X_i,X_j)=0</math>, <math> a(X_i,Y_j=\delta_{ij}</math> et <math>a(Y_i,Y_j)=0</math>.
**La famille <math>\scriptstyle (X_1,\dots,X_k,Y_1,\dots, Y_k,Z_1,\dots Z_r)</math> vérifie les propriétés requises. (Le noyau de ''a'' est égal au noyau de ''b''.)
** La famille <math>\scriptstyle (X_1,\dots,X_k,Y_1,\dots, Y_k,Z_1,\dots Z_r)</math> vérifie les propriétés requises. (Le noyau de ''a'' est égal au noyau de ''b''.)


Par récurrence forte, on démontre le résultat annoncé.
Par récurrence forte, on démontre le résultat annoncé.

Version du 2 janvier 2011 à 17:33

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Définitions élémentaires
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Leçon : Géométrie symplectique
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Géométrie symplectique/Géométrie symplectique linéaire
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L'étude des formes bilinéaires symétriques donne lieu à la géométrie euclidienne, la géométrie riemannienne, et la géométrie pseudo-riemannienne. Au contraire, l'étude des formes bilinéaires alternées donne lieu à la géométrie symplectique. Ce cours a pour objectif d'introduire les principales définitions et les propriétés élémentaires des formes symplectiques, en commençant par une première étude en algèbre linéaire.

Rappels d'algèbre linéaire


Espace vectoriel symplectique


La non-dégénérescence signifie exactement que le noyau de est nul, ou encore, que réalise un isomorphisme linéaire .

Remarque : L'existence d'une forme symplectique implique que la dimension de V soit paire. Ce fait sera établi par la classification des formes symplectiques donnée ci-dessous.


En particulier, les transformations canoniques d'un espace symplectique dans lui-même forment un sous-groupe du groupe des isomorphismes linéaires de V, noté . On reviendra sur l'étude de ce groupe.

L'exemple suivant est fondamental :

Début de l'exemple
Fin de l'exemple


C'est essentiellement le seul espace symplectique de dimension 2n, du moins à isomorphisme linéaire près. Ce point est démontré dans la section suivante. Cependant, l'isomorphisme n'est pas unique. En pratique, la manière dont se présente un espace symplectique joue un rôle important. D'autres exemples d'espaces symplectiques souvent utilisés seront donnés après la classification.

Classification

Rappelons le résultat suivant :

Début d’un théorème
Fin du théorème


Début d'une démonstration
Fin de la démonstration

Appliquons ce résultat d'algèbre linéaire réelle au cas d'une forme symplectique . Comme est non-dégénérée, le noyau est nul (donc r = 0). Le théorème précédent donne l'existence d'une base avec 2k la dimension de V. On en déduit que :

La dimension d'un espace symplectique est paire.

De plus, L'application qui à v associe ses coordonnées dans la base est visiblement symplectique pour la forme symplectique usuelle sur . D'où :

En dimension 2n, il n'existe à isomorphisme près qu'un unique espace vectoriel symplectique.

Exemples

Début de l'exemple
Fin de l'exemple


Début de l'exemple
Fin de l'exemple


Début de l'exemple
Fin de l'exemple


Structure complexe

En fait, tout espace vectoriel symplectique peut être obtenu comme dans l'exemple 4. Plus exactement, toute forme symplectique sur un espace vectoriel réel peut être vue comme la partie imaginaire d'une forme hermitienne sur V muni d'une structure complexe.


Alors :

Début d’un théorème
Fin du théorème


Début d'une démonstration
Fin de la démonstration


Début d’un théorème
Fin du théorème


Début d'une démonstration
Fin de la démonstration

Note : Dans le livre de Michèle Audin, il est rapporté un résultat de Sévennec établissant un difféomorphisme de I(V) sur un ouvert de l'espace des matrices symétriques.

Début de l'exemple
Fin de l'exemple


Début de l'exemple
Fin de l'exemple


Sous-espaces d'un espace symplectique



On a ainsi plusieurs cas particuliers :



L'orthogonal d'un hyperplan H est une droite D. L'orthogonal de D, à savoir H, doit contenir D. Autrement dit, l'orthogonal de H est contenu dans H : tout hyperplan est nécessairement coisotropique.

Début de l'exemple
Fin de l'exemple


Réduction symplectique

Si W est un sous-espace coisotropique de V, alors induit une forme symplectique sur l'espace quotient .