Football/Pari 1N2

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Position du problème

On analyse ici l'aspect mathématique des paris 1N2, par exemple des paris en ligne, on l'on parie soit sur la victoire l'équipe 1, soit sur le match nul, soit sur la victoire de l'équipe 2.

Le pari se présente sous la forme de trois cotes, par exemple :

• Équipe 1 : 3,35
• Match nul : 3,25
• Équipe 2 : 1,90

Ces cotes signifient que pour une mise de 1 €, on gagne :

• 3,35€ dans le cas d'une victoire de l'équipe 1
• 3,25€ dans le cas d'une égalité
• 1,90€ dans le cas d'une victoire de l'équipe 2

Compte tenu de la mise de 1€ le profit sera donc :

• 2,35€ dans le cas d'une victoire de l'équipe 1
• 2,25€ dans le cas d'une égalité
• 0,90€ dans le cas d'une victoire de l'équipe 2

Le principe général est donc que plus la cote est élevée, moins la probabilité de gagner est importante, et réciproquement.

Mais soyons plus précis :

• y a-t-il une formule mathématique précise reliant cotes et probabilité ?
• Peut-on savoir exactement, à partir des cotes, combien le bookmaker garde pour lui en moyenne par pari ?

Notations

Pour obtenir des résultats généraux, on note :

• $D_{1}$ la cote de l'équipe 1
• $D_{2}$ la cote du match nul
• $D_{3}$ la cote de l'équipe 2

• $p_{1}$ la probabilité d'une victoire de l'équipe 1
• $p_{2}$ la probabilité d'un match nul
• $p_{3}$ la probabilité d'une victoire de l'équipe 2

Hypothèse

Dans ce qui suit on suppose que les cotes, déterminées par le nombre de paris, fournissent une vision exacte des probabilités

Espérances des gains

L'espérance de gain d'une personne ayant parié sur l'équipe 1 sera donc  :

• $E_{1}=p_{1}\times (D_{1}-1)-(1-p_{1})=p_{1}\times D_{1}-1\,$

De même :

• $E_{2}=p_{2}\times (D_{2}-1)-(1-p_{2})=p_{2}\times D_{2}-1\,$

et :

• $E_{3}=p_{3}\times (D_{3}-1)-(1-p_{3})=p_{3}\times D_{3}-1\,$

Cas particulier du pari gratuit

Dans le cas particulier d'un pari gratuit, c'est-à-dire dans les cas où le bookmaker ne garde rien pour lui, les espérances de gain sont nulles, on a donc :

• $p_{1}={\frac {1}{D_{1}}}\,$

• $p_{2}={\frac {1}{D_{2}}}\,$

• $p_{3}={\frac {1}{D_{3}}}\,$

les probabilités sont donc dans ce cas inversement proportionnelles aux cotes.

Hypothèse d'un pari équitable

On dira que le pari est équitable si aucune éventualité n'est privilégiée par le bookmaker.

Son espérance de gain $-E_{1}$ (l'opposée de celle du parieur) dans le cas d'une victoire de l'équipe 1

sera donc égale à $-E_{2}$ et $-E_{3}$.

Notre hypothèse se traduit donc par : $E_{1}=E_{2}=E_{3}$

Naïvement, on peut penser que le bookmaker aura tendance à "parier" sur le résultat le plus probable,

en faisant baisser sa cote sur celui-ci.

Mais alors la cote la plus basse n'interessera plus les parieurs,

qui verront une meilleure affaire dans les autres résultats.

En fait, ce qui détermine l'avis du parieur, ce sont les rapports des cotes qui sont

dans le cas du pari gratuit inverses aux rapport des probabilités.

Pour que le pari paraisse équitable, il faut donc que cette propriété reste vrai, ce qui est le cas

dans le cas de notre hypothèse de pari équitable, comme nous allons le montrer maintenant.

Calcul des probabilités dans l'hypothèse d'un pari équitable

Avec $E_{1}=E_{2}=E_{3}=E$, on a :

• $E=p_{1}\times (D_{1}-1)-(1-p_{1})=p_{1}\times D_{1}-1\,$

• $E=p_{2}\times (D_{2}-1)-(1-p_{2})=p_{2}\times D_{2}-1\,$

• $E=p_{3}\times (D_{3}-1)-(1-p_{3})=p_{3}\times D_{3}-1\,$

et on obtient par soustraction des équations :

Échec de l’analyse (fonction inconnue « \timesD »): {\displaystyle p_1\timesD_1=p_2\timesD_2= p_3\timesD_3}

donc ${\frac {p_{1}}{p_{2}}}={\frac {D_{2}}{D_{1}}}$

et ${\frac {p_{1}}{p_{3}}}={\frac {D_{3}}{D_{1}}}$

et ${\frac {p_{3}}{p_{2}}}={\frac {D_{2}}{D_{3}}}$.

Le pari parait donc équitable au parieur.

Avec $p_{1}+p_{2}+p_{3}=1$, et en utilisant les rapports précédents, on obtient :

$p_{1}={\frac {D_{2}D_{3}}{D_{2}D_{3}+D_{1}D_{3}+D_{1}D_{2}}}$

Et de même :

$p_{2}={\frac {D_{1}D_{3}}{D_{2}D_{3}+D_{1}D_{3}+D_{1}D_{2}}}$

$p_{3}={\frac {D_{1}D_{2}}{D_{2}D_{3}+D_{1}D_{3}+D_{1}D_{2}}}$

Calcul de l'espérance dans l'hypothèse d'un pari équitable

On en déduit l'esperance du parieur :

$E=p_{1}\times D_{1}-1={\frac {D_{1}D_{2}D_{3}}{D_{2}D_{3}+D_{1}D_{3}+D_{1}D_{2}}}-1$\,</math>