Ensemble des nombres réels et sous-ensembles/Exercices/Intervalles

Exercice 1

Représenter sur la droite des réels les intervalles :

1. $[1;3]\,$

2. $[4;5]\,$

3. $[-3;-2]\,$

4. $[{\frac {11}{2}};+\infty [$

5. $]-\infty ;-{\frac {9}{2}}[$

Exercice 2

Indiquer pour chacun des intervalles suivant l'inégalité ou l'encadrement

que doit vérifier un réel x lui appartenant.

1. $[1;3]\,$

2. $[4;5]\,$

3. $[-3;-2]\,$

4. $[{\frac {11}{2}};+\infty [$

5. $]-\infty ;-{\frac {9}{2}}[$

Solution

Cette solution n'a pas été rédigée. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu » du modèle. ^{Comment faire ?}

 

Exercice 3

Donner tous les entiers relatifs de :

1. $]-3;{\frac {7}{2}}]$

2. $[1,5;{\frac {2}{3}}]$

3. $]{\frac {-3}{7}};{\frac {5}{3}}]$

Solution

Cette solution n'a pas été rédigée. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu » du modèle. ^{Comment faire ?}

 

Exercice 4

En utilisant l'interprétation de la valeur absolue en termes de distance,

écrire sous forme d'intervalles ou d'accolades les ensemble de solutions des (in)équations suivantes :

1. $|x-3|={\frac {1}{2}}$

$S=.............................\,$

2. $|x+2|\geq {\sqrt {3}}$

$S=.............................\,$

3. $|x+{\sqrt {2}}|=3$

$S=.............................\,$

4. $|5-x|\leq 5$

$S=.............................\,$

5. $|x-7,5|={\frac {1}{2}}$

$S=.............................\,$

6. $|x+2|>{\sqrt {3}}$

$S=.............................\,$

7. $|x+3{\sqrt {2}}|={\sqrt {2}}$

$S=.............................\,$

8. $|5-x|=3,2\,$

$S=.............................\,$

Solution

Cette solution n'a pas été rédigée. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu » du modèle. ^{Comment faire ?}

 

Exercice 5

1. Résoudre dans $\mathbb {R}$ l'équation : $|x-3|=|x+1|\,$.

Solution

$|x-3|=|x+1|\,$

$\Leftrightarrow x-3=x+1~ou~x-3=-(x+1)\,$

$\Leftrightarrow x-x=1+3~ou~x-3=-x-1\,$

$\Leftrightarrow 0x=4~ou~x+x=-1+3\,$

$\Leftrightarrow 0x=4~ou~2x=2\,$

$\Leftrightarrow 0x=4~ou~x=1\,$

La première équation est impossible, il n'y qu'un seule solution, $~\ S={1}.$

 

2. Résoudre dans $\mathbb {R}$ l'inéquation : $|x-8|<5\,$.

Solution

$|x-8|<5\,$

$\Leftrightarrow x-8<5~ou~x-8>-5,$

$\Leftrightarrow x<5+8~ou~x>-5+8,$

$\Leftrightarrow x<13~ou~x>3,$

$\ S=]3;13[.$

 

3. Résoudre dans $\mathbb {R}$ l'inéquation : $|2x-11|<|x-5|\,$.

Solution

On rappelle que résoudre l'inéquation $\ |A(x)|<|B(x)|$ revient à résoudre les 2 encadrements suivants :

$si~B(x)\geq 0:-B(x)<A(x)<B(x)$

$\ si~B(x)<0:B(x)<A(x)<-B(x)$

1 cas : $si~x-5\geq 0$ c'est à dire $si~x\geq 5$, on doit résoudre l'encadrement $\ -(x-5)<2x-11<x-5,$

$-x+5<2x-11~et~2x-11<x-5$

$-3x<-16~et~x<6$

$x>{\frac {16}{3}}~et~x<6$

On obtient alors le premier intervalle [5 ; 6 [

2 cas : $si~x-5<0$ c'est à dire $si~x<5$, on doit résoudre l'encadrement $\ x-5<2x-11<-(x-5),$

$x-5<2x-11~et~2x-11<-x+5$

$-x<-6~et~3x<16$

$x>6~et~x<{\frac {16}{3}}$

Ce deuxième cas n'admet pas de solution.

Finalement S = [5 ; 6 [

 

Exercice 6

Compléter le tableau suivant.

Intervalle	Inégalité(s)
$x\in [2;4]\,$
	$-2<x\leq 3\,$
$x\in ]-\infty ;5[\,$
	$x>-2\,$