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L'exemple suivant est fondamental :
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{{Exemple|titre=Exemple 1|contenu=
{{Exemple|titre=Exemple 1
| contenu =
Les coordonnées d'un vecteur de l'espace <math>V=\R^{2n}=\R^n\times \R^n</math> sont notées <math>(q,p)=(q_1,\dots,q_n,p_1,\dots,p_n)</math>. L'espace ''V'' est muni de la forme symplectique :
Les coordonnées d'un vecteur de l'espace <math>V=\R^{2n}=\R^n\times \R^n</math> sont notées <math>(q,p)=(q_1,\dots,q_n,p_1,\dots,p_n)</math>. L'espace ''V'' est muni de la forme symplectique :


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{{Démonstration|contenu=
{{Démonstration
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Procédons par récurrence sur la dimension de ''E''.
Procédons par récurrence sur la dimension de ''E''.


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=== Exemples ===
=== Exemples ===


{{Exemple|titre=Exemple 2|contenu=
{{Exemple|titre=Exemple 2
| contenu =
En géométrie symplectique, étant donné un espace vectoriel réel (de dimension finie) ''E'', il est courant de noter les coordonnées d'un point de l'espace <math> E\times E^*</math> sous la forme <math>v=(q,p)</math>. Les dernières coordonnées ''p'' sont pensées comme l'impulsion, les premières ''q'' comme la position. L'espace <math> E\times E^*</math> est alors muni de la forme symplectique suivante :
En géométrie symplectique, étant donné un espace vectoriel réel (de dimension finie) ''E'', il est courant de noter les coordonnées d'un point de l'espace <math> E\times E^*</math> sous la forme <math>v=(q,p)</math>. Les dernières coordonnées ''p'' sont pensées comme l'impulsion, les premières ''q'' comme la position. L'espace <math> E\times E^*</math> est alors muni de la forme symplectique suivante :
:<math>\omega_E(v_1,v_2)=p_1(q_2)-p_2(q_1)\,</math>.
:<math>\omega_E(v_1,v_2)=p_1(q_2)-p_2(q_1)\,</math>.
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{{Exemple|titre=Exemple 3|contenu=
{{Exemple|titre=Exemple 3
| contenu =
Si (''E'',''g'') est un espace vectoriel euclidien, le dual ''E''<sub>*</sub> s'identifie à ''E'' via l'isomorphisme linéaire <math>\scriptstyle E\rightarrow E^*</math> induit par la forme bilinéaire ''g''. La forme symplectique <math>\omega_E</math> définie sur <math>E\times E^*</math> induit alors une forme symplectique sur <math>E\times E</math> :
Si (''E'',''g'') est un espace vectoriel euclidien, le dual ''E''<sub>*</sub> s'identifie à ''E'' via l'isomorphisme linéaire <math>\scriptstyle E\rightarrow E^*</math> induit par la forme bilinéaire ''g''. La forme symplectique <math>\omega_E</math> définie sur <math>E\times E^*</math> induit alors une forme symplectique sur <math>E\times E</math> :
:<math>\omega_g(v_1\oplus w_1,v_2\oplus w_2)=g(w_1,v_2)-g(v_1,w_2)\,</math>.
:<math>\omega_g(v_1\oplus w_1,v_2\oplus w_2)=g(w_1,v_2)-g(v_1,w_2)\,</math>.
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{{Exemple|titre=Exemple 4|contenu=
{{Exemple|titre=Exemple 4
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Si (''H'',''h'') est un espace vectoriel hermitien, ''H'' est naturellement muni d'une forme symplectique :
Si (''H'',''h'') est un espace vectoriel hermitien, ''H'' est naturellement muni d'une forme symplectique :
:<center><math>\omega_h(v,w)=\Im \left(h(v,w)\right)</math>.</center>
:<center><math>\omega_h(v,w)=\Im \left(h(v,w)\right)</math>.</center>
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{{Démonstration|titre=Vérifications|contenu=
{{Démonstration|titre=Vérifications
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* ''<math>g_J</math> est une forme bilinéaire symétrique :''
* ''<math>g_J</math> est une forme bilinéaire symétrique :''


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{{Démonstration|contenu=
{{Démonstration
| contenu =
* ''Existence :''
* ''Existence :''
:Soit ''g'' un produit euclidien sur ''V''. Il existe un unique endomorphisme ''g''-antisymétrique ''A'' tel que, pour tous vecteur ''v'' et ''w'' : <math>g(v,Aw)=\omega(v,w)</math>. La décomposition polaire donne : ''A''=''O''.''J'' où ''O'' est un endomorphisme orthogonal. Alors ''J'' est une structure complexe <math>\omega</math> compatible.
:Soit ''g'' un produit euclidien sur ''V''. Il existe un unique endomorphisme ''g''-antisymétrique ''A'' tel que, pour tous vecteur ''v'' et ''w'' : <math>g(v,Aw)=\omega(v,w)</math>. La décomposition polaire donne : ''A''=''O''.''J'' où ''O'' est un endomorphisme orthogonal. Alors ''J'' est une structure complexe <math>\omega</math> compatible.
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''Note :'' Dans le livre de Michèle Audin, il est rapporté un résultat de Sévennec établissant un difféomorphisme de ''I''(''V'') sur un ouvert de l'espace des matrices symétriques.
''Note :'' Dans le livre de Michèle Audin, il est rapporté un résultat de Sévennec établissant un difféomorphisme de ''I''(''V'') sur un ouvert de l'espace des matrices symétriques.


{{Exemple|titre=Exemple 4 bis|contenu=
{{Exemple|titre=Exemple 4 bis
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La multiplication par ''i'' sur un espace hermitien <math>(H,h)</math> est une isométrie ''J'', et donc en particulier, une structure complexe et un isomorphisme symplectique de <math>(H,\omega_h)</math>. On constate que la forme bilinéaire symétrique définie alors par <math>\omega_h</math> et <math>J</math> est <math>g_h=Re h</math>. En particulier, elle est non dégénérées, et donc ''J'' est <math>\omega_h</math>-compatible. La forme hermitienne ''h'' n'est autre que la forme hermitienne associée à <math>(\omega,J)</math>.
La multiplication par ''i'' sur un espace hermitien <math>(H,h)</math> est une isométrie ''J'', et donc en particulier, une structure complexe et un isomorphisme symplectique de <math>(H,\omega_h)</math>. On constate que la forme bilinéaire symétrique définie alors par <math>\omega_h</math> et <math>J</math> est <math>g_h=Re h</math>. En particulier, elle est non dégénérées, et donc ''J'' est <math>\omega_h</math>-compatible. La forme hermitienne ''h'' n'est autre que la forme hermitienne associée à <math>(\omega,J)</math>.
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{{Exemple|titre=Exemple 3 bis|contenu=
{{Exemple|titre=Exemple 3 bis
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L'espace vectoriel <math>E\oplus E</math> est muni d'une structure presque complexe naturelle <math>J:(q,p)\mapsto (-p,q)</math>. Si ''E'' est munie d'un produit euclidien ''g'', alors ''J'' est <math>\omega_g</math> compatible, et le produit euclidien associé est précisément <math>g\oplus g</math>.
L'espace vectoriel <math>E\oplus E</math> est muni d'une structure presque complexe naturelle <math>J:(q,p)\mapsto (-p,q)</math>. Si ''E'' est munie d'un produit euclidien ''g'', alors ''J'' est <math>\omega_g</math> compatible, et le produit euclidien associé est précisément <math>g\oplus g</math>.
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{{Propriété|titre=Propriétés|contenu=
{{Propriété|titre=Propriétés
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Pour tous sous-espaces ''W''₁ et ''W''₂ d'un espace symplectique <math>(V,\omega)</math>, on a :
Pour tous sous-espaces ''W''₁ et ''W''₂ d'un espace symplectique <math>(V,\omega)</math>, on a :
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L'orthogonal d'un hyperplan ''H'' est une droite ''D''. L'orthogonal de ''D'', à savoir ''H'', doit contenir ''D''. Autrement dit, l'orthogonal de ''H'' est contenu dans ''H'' : tout hyperplan est nécessairement coisotropique.
L'orthogonal d'un hyperplan ''H'' est une droite ''D''. L'orthogonal de ''D'', à savoir ''H'', doit contenir ''D''. Autrement dit, l'orthogonal de ''H'' est contenu dans ''H'' : tout hyperplan est nécessairement coisotropique.


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{{Exemple|titre=Exemple 5
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Si <math>(E,\omega)</math> est un espace vectoriel symplectique, l'espace <math>V=E\oplus E</math> est muni de la forme symplectique <math>\omega\oplus-\omega</math>. Le graphe d'une application linéaire <math>T:E\rightarrow E</math> est un sous-espace lagrangien ssi ''T'' est symplectique.
Si <math>(E,\omega)</math> est un espace vectoriel symplectique, l'espace <math>V=E\oplus E</math> est muni de la forme symplectique <math>\omega\oplus-\omega</math>. Le graphe d'une application linéaire <math>T:E\rightarrow E</math> est un sous-espace lagrangien ssi ''T'' est symplectique.
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}}

Version du 21 mars 2010 à 18:50

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Définitions élémentaires
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Chapitre no {{{numéro}}}
Leçon : Géométrie symplectique
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Géométrie symplectique/Géométrie symplectique linéaire
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L'étude des formes bilinéaires symétriques donne lieu à la géométrie euclidienne, la géométrie riemannienne, et la géométrie pseudo-riemannienne. Au contraire, l'étude des formes bilinéaires alternées donne lieu à la géométrie symplectique. Ce cours a pour objectif d'introduire les principales définitions et les propriétés élémentaires des formes symplectiques, en commençant par une première étude en algèbre linéaire.

Rappels d'algèbre linéaire


Espace vectoriel symplectique


La non-dégénérescence signifie exactement que le noyau de est nul, ou encore, que réalise un isomorphisme linéaire .

Remarque : L'existence d'une forme symplectique implique que la dimension de V soit paire. Ce fait sera établi par la classification des formes symplectiques donnée ci-dessous.


En particulier, les transformations canoniques d'un espace symplectique dans lui-même forment un sous-groupe du groupe des isomorphismes linéaires de V, noté . On reviendra sur l'étude de ce groupe.

L'exemple suivant est fondamental :

Début de l'exemple
Fin de l'exemple


C'est essentiellement le seul espace symplectique de dimension 2n, du moins à isomorphisme linéaire près. Ce point est démontré dans la section suivante. Cependant, l'isomorphisme n'est pas unique. En pratique, la manière dont se présente un espace symplectique joue un rôle important. D'autres exemples d'espaces symplectiques souvent utilisés seront donnés après la classification.

Classification

Rappelons le résultat suivant :

Début d’un théorème
Fin du théorème


Début d'une démonstration
Fin de la démonstration

Appliquons ce résultat d'algèbre linéaire réelle au cas d'une forme symplectique . Comme est non-dégénérée, le noyau est nul (donc r = 0). Le théorème précédent donne l'existence d'une base avec 2k la dimension de V. On en déduit que :

La dimension d'un espace symplectique est paire.

De plus, L'application qui à v associe ses coordonnées dans la base est visiblement symplectique pour la forme symplectique usuelle sur . D'où :

En dimension 2n, il n'existe à isomorphisme près qu'un unique espace vectoriel symplectique.

Exemples

Début de l'exemple
Fin de l'exemple


Début de l'exemple
Fin de l'exemple


Début de l'exemple
Fin de l'exemple


Structure complexe

En fait, tout espace vectoriel symplectique peut être obtenu comme dans l'exemple 4. Plus exactement, toute forme symplectique sur un espace vectoriel réel peut être vue comme la partie imaginaire d'une forme hermitienne sur V muni d'une structure complexe.


Alors :

Début d’un théorème
Fin du théorème


Début d'une démonstration
Fin de la démonstration


Début d’un théorème
Fin du théorème


Début d'une démonstration
Fin de la démonstration

Note : Dans le livre de Michèle Audin, il est rapporté un résultat de Sévennec établissant un difféomorphisme de I(V) sur un ouvert de l'espace des matrices symétriques.

Début de l'exemple
Fin de l'exemple


Début de l'exemple
Fin de l'exemple


Sous-espaces d'un espace symplectique



On a ainsi plusieurs cas particuliers :



L'orthogonal d'un hyperplan H est une droite D. L'orthogonal de D, à savoir H, doit contenir D. Autrement dit, l'orthogonal de H est contenu dans H : tout hyperplan est nécessairement coisotropique.

Début de l'exemple
Fin de l'exemple


Réduction symplectique

Si W est un sous-espace coisotropique de V, alors induit une forme symplectique sur l'espace quotient .