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Ligne 19 : |
Ligne 19 : |
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{{Théorème |
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{{Théorème|titre=Croissances comparées en <math>+\infty</math>|contenu=<math>\lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}x=+\infty</math>}}
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| titre=Croissances comparées en <math>+\infty</math>|contenu=<math>\lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}x=+\infty</math>}} |
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</br> |
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{{Démonstration déroulante|contenu= |
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{{Démonstration déroulante|contenu= |
Ligne 63 : |
Ligne 64 : |
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qui est une forme indéterminée <math>-\infty \times 0^+ </math> |
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qui est une forme indéterminée <math>-\infty \times 0^+ </math> |
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{{Théorème|Titre=Croissances comparées en <math>-\infty</math>|contenu=<math>\lim_{x\to-\infty}xe^x=0</math>}} |
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{{Théorème |
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| Titre=Croissances comparées en <math>-\infty</math>|contenu=<math>\lim_{x\to-\infty}xe^x=0</math>}} |
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Preuve: |
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Preuve: |
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<math>\lim\limits_{x\to-\infty} xe^x= \lim\limits_{x\to-\infty} \dfrac{x}{e^{-x}}= -\lim\limits_{x\to-\infty} \dfrac{-x}{e^{-x}}</math> |
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<math>\lim\limits_{x\to-\infty} xe^x= \lim\limits_{x\to-\infty} \dfrac{x}{e^{-x}}= -\lim\limits_{x\to-\infty} \dfrac{-x}{e^{-x}}</math> |
Ligne 163 : |
Ligne 165 : |
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== Extension aux puissances de x == |
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== Extension aux puissances de x == |
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{{Théorème|titre= |
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{{Théorème |
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| titre= |
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Pour tout entier naturel ''n'' non nul|contenu=<math>\lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}{x^n}=+\infty</math>}} |
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Pour tout entier naturel ''n'' non nul|contenu=<math>\lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}{x^n}=+\infty</math>}} |
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{{Théorème|Titre=Pour tout entier naturel ''n'' non nul|contenu=<math>\lim_{x\to-\infty}x^n.e^x=0</math>}} |
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{{Théorème |
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| Titre=Pour tout entier naturel ''n'' non nul|contenu=<math>\lim_{x\to-\infty}x^n.e^x=0</math>}} |
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Début de la boite de navigation du chapitre
fin de la boite de navigation du chapitre
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Fonction exponentielle : Croissances comparées
Fonction exponentielle/Croissances comparées », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Comparaison entre ex et x en + ∞
On a vu que la fonction exp est strictement croissante sur et tend vers quand x tend vers , et qu’elle croît « vite », c'est-à-dire à la vitesse de la suite géométrique (en).
Pour formaliser ceci, on étudie la limite :
qui est une forme indéterminée .
Début d’un théorème
Croissances comparées en
Fin du théorème
Démonstration
On étudie sur la fonction .
On a :
et
Sur ,comme donc , donc est croissante sur .
Or donc sur , donc est croissante sur .
Or donc sur
On en déduit avec l'expression de , que sur :
donc:
donc :
- .
Or donc par comparaison,
Comparaison entre ex et x en - ∞
On a vu que la fonction exp est strictement croissante sur et tend vers 0 quand x tend vers , à la vitesse de la suite géométrique (e-n).
Pour formaliser, on étudie la limite :
qui est une forme indéterminée
Début d’un théorème
Théorème
Fin du théorème
Preuve:
En posant , on a
Application
Déterminer les limites suivantes :
Solution
- Donc
Extension aux puissances de x
Début d’un théorème
Pour tout entier naturel n non nul
Fin du théorème
Début d’un théorème
Théorème
Fin du théorème
En résumé
Quand on a une forme indéterminée impliquant une exponentielle et un polynôme, c’est toujours l’exponentielle qui « l’emporte ».