« Fonction exponentielle/Croissances comparées » : différence entre les versions

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{{Théorème
{{Théorème|titre=Croissances comparées en <math>+\infty</math>|contenu=<math>\lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}x=+\infty</math>}}
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qui est une forme indéterminée <math>-\infty \times 0^+ </math>
qui est une forme indéterminée <math>-\infty \times 0^+ </math>


{{Théorème|Titre=Croissances comparées en <math>-\infty</math>|contenu=<math>\lim_{x\to-\infty}xe^x=0</math>}}
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Preuve:
Preuve:
<math>\lim\limits_{x\to-\infty} xe^x= \lim\limits_{x\to-\infty} \dfrac{x}{e^{-x}}= -\lim\limits_{x\to-\infty} \dfrac{-x}{e^{-x}}</math>
<math>\lim\limits_{x\to-\infty} xe^x= \lim\limits_{x\to-\infty} \dfrac{x}{e^{-x}}= -\lim\limits_{x\to-\infty} \dfrac{-x}{e^{-x}}</math>
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== Extension aux puissances de x ==
== Extension aux puissances de x ==


{{Théorème|titre=
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Pour tout entier naturel ''n'' non nul|contenu=<math>\lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}{x^n}=+\infty</math>}}
Pour tout entier naturel ''n'' non nul|contenu=<math>\lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}{x^n}=+\infty</math>}}


</br>
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{{Théorème|Titre=Pour tout entier naturel ''n'' non nul|contenu=<math>\lim_{x\to-\infty}x^n.e^x=0</math>}}
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Version du 6 mars 2010 à 13:46

Début de la boite de navigation du chapitre
Croissances comparées
Icône de la faculté
Chapitre no {{{numéro}}}
Leçon : Fonction exponentielle
Chap. préc. :Étude de la fonction exponentielle
Chap. suiv. :Dérivée de exp(u)
fin de la boite de navigation du chapitre
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Fonction exponentielle/Croissances comparées
 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Comparaison entre ex et x en + ∞

On a vu que la fonction exp est strictement croissante sur et tend vers quand x tend vers , et qu’elle croît « vite », c'est-à-dire à la vitesse de la suite géométrique (en).

Pour formaliser ceci, on étudie la limite :

qui est une forme indéterminée .


Début d’un théorème
Fin du théorème


Comparaison entre ex et x en - ∞

On a vu que la fonction exp est strictement croissante sur et tend vers 0 quand x tend vers , à la vitesse de la suite géométrique (e-n).

Pour formaliser, on étudie la limite :

qui est une forme indéterminée

Début d’un théorème
Fin du théorème

Preuve:

En posant , on a

Application

Déterminer les limites suivantes :


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Cette section nécessite des connaissances sur la fonction logarithme. Vous pouvez consulter les cours de Wikiversité à ce sujet.


Extension aux puissances de x

Début d’un théorème
Fin du théorème



Début d’un théorème
Fin du théorème



En résumé

Quand on a une forme indéterminée impliquant une exponentielle et un polynôme, c’est toujours l’exponentielle qui « l’emporte ».