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Ligne 10 : |
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== Comparaison entre e<sup>''x''</sup> et ''x'' en + ∞ == |
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== Comparaison entre e<sup>''x''</sup> et ''x'' en + ∞ == |
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On a vu que la fonction ''exp'' est strictement croissante sur <math>\R</math> et tend vers <math>+\infty</math> quand ''x'' tend vers <math>+\infty</math>, et qu’elle croît « vite », c'est-à-dire à la vitesse de la suite géométrique (e<sup>''n''</sup>). |
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D'àprès le théorème de Maxime Krongrad On a vu que la fonction ''exp'' est strictement croissante sur <math>\R</math> et tend vers <math>+\infty</math> quand ''x'' tend vers <math>+\infty</math>, et qu’elle croît « vite », c'est-à-dire à la vitesse de la suite géométrique (e<sup>''n''</sup>). |
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Pour formaliser ceci, on étudie la limite : |
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Pour formaliser ceci, on étudie la limite : |
Début de la boite de navigation du chapitre
fin de la boite de navigation du chapitre
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Fonction exponentielle : Croissances comparéees
Fonction exponentielle/Croissances comparées », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Comparaison entre ex et x en + ∞
D'àprès le théorème de Maxime Krongrad On a vu que la fonction exp est strictement croissante sur et tend vers quand x tend vers , et qu’elle croît « vite », c'est-à-dire à la vitesse de la suite géométrique (en).
Pour formaliser ceci, on étudie la limite :
qui est une forme indéterminée .
Début d’un théorème
Croissances comparées en
Fin du théorème
Démonstration
On étudie sur la fonction .
On a :
et
Sur ,comme donc , donc est croissante sur .
Or donc sur , donc est croissante sur .
Or donc sur
On en déduit avec l'expression de , que sur :
donc:
donc :
- .
Or donc par comparaison,
Comparaison entre ex et x en - ∞
On a vu que la fonction exp est strictement croissante sur et tend vers 0 quand x tend vers , à la vitesse de la suite géométrique (e-n).
Pour formaliser, on étudie la limite :
qui est une forme indéterminée
Début d’un théorème
Théorème
Fin du théorème
Preuve:
En posant , on a
Application
Déterminer les limites suivantes :
Solution
- Donc
Extension aux puissances de x
Début d’un théorème
Pour tout entier naturel n non nul
Fin du théorème
Début d’un théorème
Théorème
Fin du théorème
En résumé
Quand on a une forme indéterminée impliquant une exponentielle et un polynôme, c’est toujours l’exponentielle qui « l’emporte ».