« Repérage et coordonnées/Distance » : différence entre les versions

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Version du 20 avril 2009 à 15:17

**Distance entre deux points**
Leçon : Repérage et coordonnées

Chapitre n^o {{{numéro}}}
Chap. préc. :	Point
Chap. suiv. :	Vecteur

En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Repérage et coordonnées : Distance entre deux points
Repérage et coordonnées/Distance », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Repère orthogonal -- Repère orthonormé

Exemple : Le graphique suivant montre un repère (O, I, J)

Un repère n'a pas forcément des axes perpendiculaires, mais quand ses axes sont perpendiculaires, on lui donne un nom particulier :

Définition

Quand les axes (OI) et (OJ) sont perpendiculaires, le repère est dit orthogonal.
Quand les axes sont perpendiculaires et qu'en plus les unités sont les mêmes, OI = OJ = 1, le repère est dit orthonormé

Exemple : Les axes sont perpendiculaires, les unités sont les mêmes en abscisses et en ordonnées. Les points I et J ne sont pas nommés, ils correspondent à la valeur 1.

Exercices interactifs

Pour s'exercer aux coordonnées dans un repère sur Maths en poche

Distance dans un repère orthonormé

Théorème

Soient dans un repère orthonormé deux points $A(x_{A};y_{A})\,$ et $B(x_{B};y_{B})\,$ ,

alors la distance entre A et B est donnée par la formule suivante :

AB={\sqrt {(x_{B}-x_{A})^{2}+(y_{B}-y_{A})^{2}}}

Exemple : Dans le repère orthonormé ci-dessous, calculons la distance AB :

$AB={\sqrt {(-2-3,5)^{2}+(1,5-2)^{2}}}={\sqrt {(-5,5)^{2}+(-0,5)^{2}}}={\sqrt {30,25+0,25}}={\sqrt {31}}\approx 5,6\ unit{\acute {e}}s$ Attention : Ce résultat est en unités, et chaque unité vaut deux carreaux, donc si on veut AB en carreaux, il faut multiplier ce résultat par 2. Mais quand on demande la distance AB et que l'on ne précise pas, il faut la donner en unités, et non en carreaux ou en cm.

Exercice : Calculer (en unités) les distances AC, BC, AO.

Exercices interactifs

Exercices de Maths en poche sur le calcul de distance avec les coordonnées

Repérage et coordonnées

Point

Vecteur

@@ Ligne 1 : / Ligne 1 : @@
 {{Chapitre
-|titre=Distance
+|titre=Distance entre deux points
 |idfaculté=mathématiques
 |leçon=[[Repérage et coordonnées]]
@@ Ligne 8 : / Ligne 8 : @@
 }}
+== Repère orthogonal -- Repère orthonormé ==
-== Repères ==
-{{Définition
-  | contenu =
-Un repère du plan est constitué de trois points (O, I, J) non alignés.
-Le point O est l''''origine''' du repère. Les points I et J fixent les '''unités''' en '''abscisses''' et en '''ordonnées'''.}}
 '''Exemple''' :
+Le graphique suivant montre un repère (O, I, J)
-*Un repère n'a pas forcément des axes perpendiculaires
 <center>[[Fichier:Rp plan.png]]</center>
+Un repère n'a pas forcément des axes perpendiculaires, mais quand ses axes sont perpendiculaires, on lui donne un nom particulier :
 {{Définition
@@ Ligne 26 : / Ligne 23 : @@
 '''Exemple''' : Les axes sont perpendiculaires, les unités sont les mêmes en abscisses et en ordonnées. Les points I et J ne sont pas nommés, ils correspondent à la valeur 1.
-<center>[[Fichier:2D Cartesian Coordinates.svg]]</center>
+<center>[[Fichier:2D Cartesian Coordinates Fr.svg]]</center>
 === Exercices interactifs ===
 *[http://mathenpoche.sesamath.net/5eme/pages/numerique/chap3/serie3/index.html Pour s'exercer aux coordonnées dans un repère sur Maths en poche]
-== Coordonnées du milieu d'un segment ==
-{{Théorème|contenu=
-Soient deux points <math>A(x_A ; y_A)\,</math> et <math>B(x_B ; y_B)\,</math>, alors les coordonnées du milieu M du segment [AB] sont données par les formules :
-<center><math> x_M=\frac{x_A+x_B}{2}\ ,\ y_M=\frac{y_A+y_B}{2}</math></center>
-}}
-'''Exemple''' : Dans le repère ci-dessous, calculons les coordonnées du milieu M de [AB].
-<center>[[Fichier:Coordonnées.svg]]</center>
-<center><math> x_M=\frac{3,5+(-2)}{2}=\frac{1,5}{2}=0,75</math></center>
-<center><math> y_M=\frac{2+1,5}{2}=\frac{3,5}{2}=1,75</math></center>
-'''Exercice''' : Calculer les coordonnées des milieux N de [BD] et P de [AO].
-=== Exercices interactifs ===
-*[http://mathenpoche.sesamath.net/3eme/pages/geometrie/chap4/serie3/index.html Exercices de Maths en poche sur les coordonnées du milieu]
 == Distance dans un repère orthonormé ==